《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

6. 如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE = BF = CM = DN.
（1）求证：四边形EFMN是正方形.
（2）若AB = 7，AE = 3，求四边形EFMN的周长.

答案：
(1)证明:
∵AE = BF = CM = DN，
∴BE = CF = DM = AN.
∵∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，
∴△ANE≌△DMN≌△CFM≌△BEF(SAS)，
∴EN = NM = MF = EF，∠ENA = ∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠ENA = ∠DMN，∠DMN + ∠DNM = 90°，
∴∠ENA + ∠DNM = 90°，
∴∠ENM = 90°，
∴四边形EFMN是正方形.
(2)解:
∵AB = 7，AE = 3，
∴AN = BE = AB - AE = 4，
∴EN = $\sqrt{AE^{2}+AN^{2}}$ = 5，
∴正方形EFMN的周长 = 4×5 = 20.

7.（2023株洲中考）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸. 如图所示，已知∠ACB = 90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD = （ ）

A. 3.5 cm
B. 3 cm
C. 4.5 cm
D. 6 cm

答案： B

8. 如图，在四边形ABCD中，AD = BC，∠DAB = 50°，∠CBA = 70°，P，M，N分别是AB，AC，BD的中点，若BC = 6，则△PMN的周长是_______.

答案： 9

9. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
（1）求证：AF = DC.
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.
（3）在（2）的条件下，若AB = 8，BC = 10，且AG⊥CF于点G，求AG的长.

答案：
(1)证明:
∵AF//BC，
∴∠AFE = ∠DBE.
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE = DE，BD = CD.在△AFE和△DBE中，$\begin{cases}∠AFE = ∠DBE \\∠FEA = ∠BED \\AE = DE\end{cases}$，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF = BD，
∴AF = DC.
(2)解:四边形ADCF是菱形.证明:
∵AF//BC，AF = DC，
∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AC⊥AB，AD是斜边BC上的中线，
∴AD = DC = $\frac{1}{2}$BC，
∴四边形ADCF是菱形.
(3)解:由
(2)得四边形ADCF是菱形，
∴CF = CD = $\frac{1}{2}$BC = 5.在Rt△ABC中，AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$ = 6，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=\frac{1}{2}\times6\times8 = 24$，
∴$S_{\triangle ADC}=12$，
∴$S_{菱形ADCF}=2S_{\triangle ADC}=24$，即CF·AG = 24，
∴AG = $\frac{24}{CF}=\frac{24}{5}$.

1. 下列命题，其中是真命题的是 （ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形

答案： D

2.（确定平行四边形的顶点坐标时，忽略解的多种可能情况）已知在平面直角坐标系中，有点O(0，0)，A($\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$)，B(3$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$)，C这四点. 以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为__________________________.

答案： $(2\sqrt{3},0)$或$(-2\sqrt{3},0)$或$(4\sqrt{3},2\sqrt{3})$