《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

10. 小英是班上的“手工达人”，她用彩带编织一个小饰品的一部分如图所示，则两条彩带的重叠部分形成的三个四边形都是______.
　　　　　　

答案： 平行四边形

11. 如图，在□ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：AB = FC.
(2)连接DE，若AD = 2AB，求证：DE⊥AF.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB//DF,
∴∠ABE=∠FCE.
　
∵E为BC中点,
∴BE=CE.
　　在△ABE与△FCE中,
　　{
　　　　∠ABE=∠FCE,
　　　　BE=CE,
　　　　∠AEB=∠FEC,
　　}
　
∴△ABE≌△FCE(ASA),
　
∴AB=FC.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB=CD=FC.
　
∵AD=2AB,
　
∴AD=DF.
　　由
(1)得△ABE≌△FCE,
　
∴AE=EF,
　
∴DE⊥AF.

12. (2023长沙中考)如图，在□ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F.
(1)求证：AD = AF.
(2)若AD = 6，AB = 3，∠A = 120°，求BF的长和△ADF的面积.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明:在□ABCD中,
∵AB//CD,
　
∴∠CDE=∠F.
　
∵DF平分∠ADC,
　
∴∠ADE=∠CDE,
　
∴∠F=∠ADF,
　
∴AD=AF.
(2)解:
∵AD=AF=6,AB=3,
　
∴BF=AF−AB=3.
　　如图,过点D作DH⊥AF交FA的延长线于点H,
　
∵∠BAD=120°,
　
∴∠DAH=60°,
　
∴∠ADH=30°,
　
∴AH=$\frac{1}{2}$AD=3,
　
∴DH=$\sqrt{AD²−AH²}$=3$\sqrt{3}$
　
∴△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AF·DH=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$
　　

13. (2022葫芦岛期末)如图，在□ABCD中，AB = BD，点E在射线BD上(不与B，D重合)，CF//AE交直线BD于点F.
(1)如图1，当点E在线段BD上时，请直接写出BE，BF，CD之间的数量关系.
(2)如图2，当点E在线段BD的延长线上时，请写出BE，BF，CD之间的数量关系，并加以证明.
　　　　

答案： 解:
(1)BE+BF=CD.理由如下:
　
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB=CD,AD//BC,AD=BC,
　
∴∠ADE=∠CBF;
　
∵CF//AE,
∴∠AED=∠CFB,
　　在△ADE和△CBF中,
　　{
　　　　∠AED=∠CFB,
　　　　∠ADE=∠CBF,
　　　　AD=CB,
　　}
　
∴△ADE≌△CBF(AAS),
　
∴BF=DE,
　
∴BF+BE=DE+BE=BD,
　
∵AB=BD=CD,即BF+BE=CD.
(2)BE−BF=CD.理由如下:
　
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB=CD,AD//BC,AD=BC,
　
∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ADE=∠CBF;
　
∵CF//AE,
∴∠AED=∠CFB.
　　在△ADE和△CBF中,
　　{
　　　　∠AED=∠CFB,
　　　　∠ADE=∠CBF,
　　　　AD=CB,
　　}
　
∴△ADE≌△CBF(AAS),
　
∴BF=DE,
　
∴BE−DE=BE−BF=BD,
　
∵AB=BD=CD,
　
∴BE−BF=CD.