《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

8.（2022无锡惠山区期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点C作CE//BD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：AC = CE.
（2）若DE = 9，CD = 12，求△COD的周长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD，BC//AD，即BC//DE.
又
∵CE//BD，
∴四边形DECB是平行四边形，
∴BD = CE，
∴AC = CE.
(2)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = 90°，$CO = DO=\frac{1}{2}AC$，
∴∠EDC = 180° - ∠ADC = 90°.
在Rt△EDC中，DE = 9，CD = 12，
∴$CE=\sqrt{DE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}} = 15$，
由
(1)知，AC = CE = 15，
∴△COD的周长为$CO + DO + CD=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC + CD = AC + CD = 15 + 12 = 27$.
∴△COD的周长为27.

9.（2023杭州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 若∠AOB = 60°，则$\frac{AB}{BC}$ = （ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
　　

答案： D

10. 如图，∠BOD = 45°，BO = DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F. 下列4个结论：①OE平分∠BOD；②OF = BD；③DF = $\sqrt{2}$AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形. 正确结论的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
　　

答案： A

11. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC = 90°，AC = AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
（1）求证：BM = MN.
（2）若∠BAD = 60°，AC平分∠BAD，AC = 2，求BN的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:在△CAD中，
∵M，N分别是AC，CD的中点.
∴$MN//AD$，$MN=\frac{1}{2}AD$.
在Rt△ABC中，
∵M是AC的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}AC$.
∵AC = AD，
∴BM = MN.
(2)解:
∵∠BAD = 60°，AC平分∠BAD.
∴∠BAC = ∠DAC = 30°.
由
(1)可知$BM=\frac{1}{2}AC = AM = MC$.
∴∠BMC = ∠BAM + ∠ABM = 2∠BAM = 60°.
∵MN//AD，
∴∠NMC = ∠DAC = 30°.
∴∠BMN = ∠BMC + ∠NMC = 90°.
∴$BN^{2}=BM^{2}+MN^{2}$.
由
(1)可知$MN = BM=\frac{1}{2}AC = 1$.
∴$BN=\sqrt{2}$.

12.（2022安康紫阳期末）在矩形ABCD中，点E为AD上一点，连接BE，CE，∠ABE = 45°.
（1）如图1，若BE = 3$\sqrt{2}$，BC = 4，求CE的长.
（2）如图2，点P是EC的中点，连接BP并延长交CD于点F，H为AD上一点，连接HF，且∠DHF = ∠CBF，求证：BP = PF + FH.
　　 　

答案：

(1)解:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = 90°，AD = BC = 4，AB = CD.
∵∠ABE = 45°，
∴∠AEB = 45°，
∴AE = AB.
∵$AE^{2}+AB^{2}=BE^{2}$，
∴$AE^{2}+AB^{2}=18$，
∴AE = 3 = AB = CD，
∴DE = AD - AE = 4 - 3 = 1，
∴$CE=\sqrt{DE^{2}+CD^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$.
(2)证明:延长BF，AD交于点M. 如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠PBC = ∠EMP.
∵点P是EC的中点，
∴PC = PE.
在△BPC和△MPE中，$\begin{cases}\angle PBC = \angle EMP,\\\angle BPC = \angle MPE,\\PC = PE,\end{cases}$

∴△BPC≌△MPE(AAS).
∴BP = PM，
∵∠DHF = ∠CBF，∠CBF = ∠EMP，
∴∠DHF = ∠EMP，
∴FM = FH，
∴BP = PM = PF + FM = PF + FH.
∴BP = PF + FH.