《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

6.（2023秦皇岛青龙期末）如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，若∠CED = 70°，则∠ABE的度数是_______.

答案： $25^{\circ}$

7.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE = DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF.
（2）若AB = 3$\sqrt{2}$，BE = 2，求四边形AECF的面积.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD = AB,∠ABE = ∠CDF = 45°.
　又
∵BE = DF.
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:如图，连接AC,交BD于点O,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD,AO = CO,DO = BO.
　
　又
∵DF = BE,
∴OE = OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
∵AB = $3\sqrt{2}$,
∴AC = BD = 6.
∵BE = DF = 2,
∴EF = 2.
∴四边形AECF的面积 = $\frac{1}{2}$AC·EF = $\frac{1}{2}\times6\times2 = 6$.

8.（2022吕梁交口期末）如图，已知四边形ABCD和CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH = BK = CE，连接AK，KF，HF，AH.
（1）求证：AK = AH.
（2）求证：四边形AKFH是正方形.
（3）若四边形AKFH的面积为10，CE = 1，求点A，E之间的距离.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴AB = AD = DC = BC,GC = EC = FG = EF.
　在△ADH和△ABK中，$\begin{cases}AD = AB,\\\angle ADH=\angle ABK,\\DH = BK,\end{cases}$
∴△ADH≌△ABK(SAS),
∴AK = AH.
(2)证明:
∵△ADH≌△ABK,
∴∠HAD = ∠BAK.
∴∠HAK = 90°.
∵DH = CE = BK,
∴HG = EK = BC = AD = AB.
　同理可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH,
∴AH = AK = HF = FK,
∴四边形AKFH是正方形.
(3)解:连接AE(图略).
∵四边形AKFH的面积为10,
∴KF = $\sqrt{10}$.
∵EF = CE = 1,
∴KE = $\sqrt{KF^{2}-EF^{2}}=\sqrt{10 - 1}=3$,
∴AB = KE = 3.
∵BK = EF = 1,
∴BE = BK + KE = 4,
∴AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$,
　故点A,E之间的距离为5.