《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

9. 如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=DC
D. AB⊥DC
　　　　　　　　　　　　　

答案： D

10. (2023石家庄裕华区校级期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=8 cm，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发，相向而行，速度均为2 cm/s，运动时间为t(0≤t≤5)秒，若G，H分别是AB，DC的中点，且t≠2.5，当E，G，F，H为顶点的四边形为矩形时，t的值为______.
　　　　　　

答案： 0.5或4.5

11. (2022巴中中考)如图，在▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG，DE，FG.
(1)求证：△ABE≌△FCE.
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,
∴∠EAB = ∠CFE.
又
∵E为BC的中点,
∴EC = EB.
在△ABE和△FCE中,
$\begin{cases}\angle EAB = \angle EFC,\\\angle BEA = \angle CEF,\\EB = EC,\end{cases}$
∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)
∵△ABE≌△FCE,
∴AB = CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB = DC,
∴DC = CF.
又
∵CE = CG,
∴四边形DEFG是平行四边形.
∵E为BC的中点,CE = CG,
∴BC = EG.
又
∵AD = BC = EG = 2AB,DF = CD + CF = 2CD = 2AB
∴DF = EG,
∴平行四边形DEFG是矩形.

12. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF//BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长.
(2)连接AE，AF. 问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.
　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)
∵EF交∠ACB的平分线于点E,交∠ACD的平分线于点F.∠OCE = ∠BCE,∠OCF = ∠DCF.
∵EF//BC,
∴∠OEC = ∠BCE,∠OFC = ∠DCF.
∴∠OEC = ∠OCE,∠OFC = ∠OCF.
∴OE = OC,OF = OC.
∴OE = OF.
∵∠OCE + ∠BCE + ∠OCF + ∠DCF = 180°,
∴∠ECF = 90°.
在Rt△CEF中,CE = 8,CF = 6,
由勾股定理得EF = $\sqrt{CE^{2}+CF^{2}}$ = 10,
∴OC = OE = $\frac{1}{2}$EF = 5.
(2)当点O在边AC上运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
当O为AC的中点时,AO = CO.
∵EO = FO,
∴四边形AECF是平行四边形.
∠ECF = 90°,
∴四边形AECF是矩形.