《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE//BD，DE//AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为________.
　　　　　　　

答案： 8

8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=CD=DA.
∵E,F分别为OA,OB的中点,
∴EF为△OAB的中位线,
∴EF=$\frac{1}{2}$AB.同理可得FG=$\frac{1}{2}$BC,GH=$\frac{1}{2}$CD,HE=$\frac{1}{2}$AD,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四边形EFGH为菱形.

9.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A.若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B.若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C.若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D.若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
　　　　　　　　　　　　

答案： D

10.(2023张家界中考)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF.
(1)求证：AE//BF.
(2)若DF=FC，求证：四边形DECF是菱形.
　　　　　　　　　　

答案： 证明:
(1)
∵AD=BC,
∴AD+CD=BC+CD,
∴AC=BD.
∵AE=BF,CE=DF,
∴△AEC≌△BFD(SSS),
∴∠A=∠B,
∴AE//BF.
(2)
∵△AEC≌△BFD,
∴∠ECA=∠FDB,
∴EC//DF.
∵EC=DF,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,
∴四边形DECF是菱形.

11.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形.
(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明:
∵PQ垂直平分BE,
∴QB=QE,OB=OE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC.
∴∠PEO=∠QBO.
在△BOQ与△EOP中,$\begin{cases}∠QBO = ∠PEO \\ OB = OE \\ ∠QOB = ∠POE\end{cases}$,
∴△BOQ≌△EOP(ASA).
∴QB=PE.
∵AD//BC,
∴四边形BPEQ是平行四边形.
∵QB=QE,
∴四边形BPEQ是菱形.
(2)解:
∵O,F分别为BE,AB的中点,
∴AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18 - x,
在Rt△ABE中,6²+x²=(18 - x)²,解得x=8.
∴BE=18 - x=10.
∴OB=$\frac{1}{2}$BE=5.
设PE=y,则AP=8 - y,BP=PE=y.
在Rt△ABP中,6²+(8 - y)²=y²,解得y=$\frac{25}{4}$,
即PB=PE=$\frac{25}{4}$.
在Rt△BOP中,PO=$\sqrt{(\frac{25}{4})^2 - 5^2}=\frac{15}{4}$,
∴PQ=2PO=$\frac{15}{2}$.