《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

8. 如图，小巷左、右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7 m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4 m. 如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5 m，则小巷的宽为（ ）

A. 2 m B. 2.5 m
C. 2.6 m D. 2.7 m

答案： D

9. 如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B(点A，B，C，D，E在同一平面内)，其中AC＝500米，BC＝1 300米，AD＝600米，BE＝400米.
(1)求A，B两点的距离.
(2)为增强游客的游览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长.

答案： 解:
(1)在Rt△ABC中，∠CAB = 90°，
由勾股定理，得AB = $\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}$= $\sqrt{1300^{2}-500^{2}}$= 1 200(米)，
∴A，B两点的距离为1 200米.
(2)
∵BE = 400米，AB = 1 200米，
∴AE = 800米.
在Rt△ADE中，∠EAD = 90°，
由勾股定理，得DE = $\sqrt{AE^{2}+AD^{2}}$= $\sqrt{800^{2}+600^{2}}$= 1 000(米)，
由面积法，得$\frac{1}{2}$AD·AE = $\frac{1}{2}$DE·AF，
∴AF = $\frac{AD·AE}{DE}$= $\frac{600×800}{1000}$= 480(米)，
∴玻璃廊桥AF的长为480米.

10. (阅读理解题)阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数书九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙地解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的. 我们也称这个公式为“海伦 - 秦九韶公式”，该公式是：设在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S＝$\frac{\sqrt{(a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b + c - a)}}{4}$.
(1)【举例应用】已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________.
(2)【实际应用】有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝(2$\sqrt{6}$+4$\sqrt{2}$)m，BC＝5 m，CD＝7 m，AD＝4$\sqrt{6}$ m，∠A＝60°，求这块草地的面积.

答案：
解:
(1)4$\sqrt{6}$
(2)过点D作DE⊥AB，垂足为E，
连接BD，如图.

在Rt△ADE中，
∵∠A = 60°，
∴∠ADE = 30°，
∴AE = $\frac{1}{2}$AD = 2$\sqrt{6}$，
∴BE = AB - AE = 2$\sqrt{6}$+4$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$= 4$\sqrt{2}$，
DE = $\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}$= $\sqrt{(4\sqrt{6})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}$= 6$\sqrt{2}$，
∴BD = $\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}$= $\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+(6\sqrt{2})^{2}}$= 2$\sqrt{26}$.
∴S△BCD = 5$\sqrt{10}$，
∵S△ABD = $\frac{1}{2}$AB·DE = $\frac{1}{2}$×(2$\sqrt{6}$+4$\sqrt{2}$)×6$\sqrt{2}$= 12$\sqrt{3}$+24.
∴S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD = 12$\sqrt{3}$+24+5$\sqrt{10}$.
答:该块草地的面积为(12$\sqrt{3}$+24+5$\sqrt{10}$)m².