《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

9.（教材P16“阅读与思考”变式）古希腊的几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦 - 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是$a,b,c$，记$p=\frac{a + b + c}{2}$，那么三角形的面积为$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A,\angle B,\angle C$所对的边分别记为$a,b,c$. 若$a = 5,b = 6,c = 7$，则$\triangle ABC$的面积为 （ ）

A. $6\sqrt{6}$
B. $6\sqrt{3}$
C. 18
D. $\frac{19}{2}$

答案： A

10. 若$b＜0$，则化简$\sqrt{-ab^{3}}$的结果是 （ ）
A. $-b\sqrt{ab}$
B. $b\sqrt{-ab}$
C. $-b\sqrt{-ab}$
D. $b\sqrt{ab}$

答案： C

母题变式
把$m\sqrt{-\frac{1}{m}}$根号外的因式移入根号内得 （ ）
A. $\sqrt{-m}$
B. $\sqrt{m}$
C. $-\sqrt{-m}$
D. $\sqrt{-1}$

答案： C

11. 写出一个二次根式，使它与$2\sqrt{5}$的积是有理数. 这个二次根式是 ________.

答案： $\sqrt{5}$(答案不唯一)

12. 计算，并将结果化简.
（1）$\sqrt{2}\times\frac{1}{3}\sqrt{3}\times\sqrt{6}$.
（2）$\sqrt{1\frac{3}{5}}\times2\sqrt{3}\times(-\frac{1}{2}\sqrt{10})$.
（3）$3a\sqrt{12a^{2}b}\cdot(-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{75}{4}a^{5}b^{3}})(a\geqslant0,b\geqslant0)$.

答案： 解:
(1)原式$=2$;
(2)原式$=-4\sqrt{3}$;
(3)原式$=-30a^{4}b^{2}\sqrt{a}$.

13.（2023唐山丰南区期中）观察下列各式：
①$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$，②$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$，③$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式：____.
（2）请用含$n(n\geqslant1)$的式子写出你猜想的规律：__________.
（3）请证明（2）中的结论.

答案： 解:
(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}} = 5\sqrt{\frac{1}{6}}$;
(2)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$;
(3)$\sqrt{n+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n}{n + 2}+\frac{1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n + 1}{n + 2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^{2}}{n + 2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n + 2}}$.