《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

13. 已知$M=\frac{x + y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$，$N=\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x + y}+\sqrt{y - x}}$，甲、乙两个同学在$y=\sqrt{x - 8}+\sqrt{8 - x}+18$的条件下分别计算了$M$和$N$的值，甲说$M$的值比$N$大，乙说$N$的值比$M$大. 请你判断他们谁的结论是正确的，并说明理由.

答案： 解：乙的结论正确.理由如下：
由$y = \sqrt{x - 8}+\sqrt{8 - x}+18$，可得$\begin{cases}x - 8\geq0 \\ 8 - x\geq0\end{cases}$，
$\therefore x = 8$，$y = 18$.
$\therefore M=\frac{x + y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{8}-\sqrt{18}=-\sqrt{2}$，
$N=\frac{3\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x + y}+\sqrt{y - x}}=\frac{3\sqrt{8}-2\sqrt{18}}{\sqrt{26}+\sqrt{10}}=\frac{6\sqrt{2}-6\sqrt{2}}{\sqrt{26}+\sqrt{10}} = 0$.
$\therefore M\lt N$，即$N$的值比$M$大.$\therefore$乙的结论正确.

14. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为$a$.
（1）求$a$的值.
（2）已知$4 - a$的整数部分和小数部分分别是$x$，$y$，求$y(x - y)$的值.

答案： 解：
(1)由题意，得$S_{阴影}=\frac{1}{2}\times2\times2\times2+\frac{1}{2}\times2\times2 = 6$，
$\therefore a^{2}=6$.$\because a\gt0$，$\therefore a=\sqrt{6}$.
(2)$4 - a = 4-\sqrt{6}$，
又$\because2\lt\sqrt{6}\lt3$，$\therefore1\lt4-\sqrt{6}\lt2$，$\therefore x = 1$，$y = 3-\sqrt{6}$，
$\therefore y(x - y)=(3-\sqrt{6})(1 - 3+\sqrt{6}) = 5\sqrt{6}-12$.