《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

1.（2022广州中考）如图，在▱ABCD中，AD = 10，对角线AC与BD相交于点O，AC + BD = 22，则△BOC的周长为_______.

答案： 21

2. 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
（1）求证：AE = CF.
（2）若M，N分别为边AD，BC上的点，且DM = BN. 求证：四边形MENF是平行四边形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AB//CD，
∴∠BAC = ∠DCA.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB = ∠DFC = 90°.
∵∠BAC = ∠DCA，∠AEB = ∠DFC，AB = CD，
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE = CF.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD = BC.
∴∠DAC = ∠BCA.
∵DM = BN，
∴AM = CN.又
∵AE = CF，
∴△AME≌△CNF(SAS).
∴ME = NF，∠AEM = ∠CFN，
∴∠MEF = ∠NFE，
∴ME//NF，
∴四边形MENF是平行四边形.

3. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE//BD，BE//AC，OE = CD. 若AD = 2，则当四边形ABCD的形状是_______时，四边形AOBE的面积取得最大值是_______.

答案： 正方形 2

4.（2023怀化中考）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.
（1）求证：△BOF≌△DOE.
（2）连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠EDO = ∠FBO.
∵O是BD的中点，
∴DO = BO，又
∵∠EOD = ∠FOB，
∴△BOF≌△DOE(ASA).
(2)由
(1)已证△BOF≌△DOE，
∴BF = DE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，即DE//BF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵EF⊥BD，
∴四边形EBFD是菱形.

5.（2023沧州期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在CD上，EF⊥CD，OG//EF.
（1）求证：四边形OEFG为矩形.
（2）若AD = 10，EF = 3，求CG的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD为菱形，
∴OB = OD，AB//CD.
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE//AB，
∴OE//GF;
∵OG//EF，
∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥CD，
∴∠EFG = 90°，
∴四边形OEFG是矩形.
(2)解:
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD = AD = 10，OB = OD，AC⊥BD.
∵E为AD的中点，AD = 10，
∴DE = AE = $\frac{1}{2}$AD = 5，由
(1)可知，四边形OEFG是矩形，
∴∠EFG = ∠DFE = 90°，OG = EF = 3，FG = OE = 5，
∴DF = $\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}$ = 4，
∴CG = CD - GF - FD = 10 - 5 - 4 = 1.