《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

7. 以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5）. 类似地，还可得到下列勾股数组（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等.
（1）根据上述4个勾股数组的规律，写出第6个勾股数组.
（2）用含n（n≥2且n为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明.

答案： 解:
(1)上述4个勾股数组的规律是3²+4²=5²,8²+6²=10²,15²+8²=17²,24²+10²=26²,
　即(n²−1)²+(2n)²=(n²+1)²(n≥2,且n为整数),所以第6个勾股数组为(48,14,50).
(2)勾股数组为(n²−1,2n,n²+1).
　证明如下:(n²−1)²+(2n)²=n⁴+2n²+1=(n²+1)².

8. （2023济宁中考）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）

A. 180°－α
B. 180°－2α
C. 90°＋α
D. 90°＋2α

答案： C

9. 如图，四边形ABCD的三条边AB，BC，CD和BD都为5 cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2 cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8 cm/s的速度运动到点A. 若两点同时开始运动，运动5 s时，P，Q相距3 cm. 试确定两点运动5 s时，△APQ的形状.

答案： 解:运动5s时,动点P运动的路程为2×5=10(cm),即点P运动到点D(点P与点D重合),
　动点Q运动的路程为2.8×5=14(cm),
∵DC=BC=BA=5cm,
∴点Q在BA上,且BQ=14−10=4(cm).
　在△BPQ中,
∵BP=5cm,BQ=4cm,PQ=3cm,
∴BQ²+PQ²=4²+3²=25=BP²,
∴△BPQ是直角三角形,且∠BQP=90°,
∴∠AQP=180°−90°=90°,
∴两点运动5s时，△APQ是直角三角形.

10. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力. 如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300 km和400 km，且点A，B的距离为500 km，以台风中心为圆心，周围250 km以内为受影响区域.
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的移动速度为20 km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长.

答案：
解:
(1)海港C受台风影响.理由如下:如图，过点C作CD⊥AB于点D.
　　　　　　　　　
　
∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,
　
∴AC²+BC²=AB²,
　
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°,
　
∴$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$AB·CD,
　
∴300×400=500CD,
　
∴CD=240km.
　
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响.
(2)当EC=250km,FC=250km时,正好影响海港C.
∵ED=FD = $\sqrt{EC^{2}-CD^{2}}$ = 70(km),
　
∴EF=140km,140÷20=7(h).
　　即台风影响该海港持续的时间为7h.