《2025年夺冠百分百新导学课时练八年级数学下册人教版》

6. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有______个.

答案： 8

7. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG = ______.

答案： 1

8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE = DF，OE = OA. 求证：四边形AECF是正方形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF.
∴OE=OF.
∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,
∴OE=OF=OA=OC,
即EF=AC.
∴菱形AECF是正方形.

9.（2023常德中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF//AD，连接AF，DE. 若∠FAC = 15°，则∠AED的度数为（ ）

A. 80°
B. 90°
C. 105°
D. 115°

答案： C

10.（2023廊坊香河校级三模）问题：如图，在正方形ABCD中，边长AB为10，点P为对角线AC上一点（不与点A，C重合）. 当△BCP为等腰三角形时，求AP的值. 嘉嘉：当点P为AC中点时，△BCP为等腰三角形，AP = 5$\sqrt{2}$；淇淇：当CP = BC = 10时，△BCP是等腰三角形，AP = 10$\sqrt{2}$ - 10. 则 （ ）

A. 嘉嘉的结论正确
B. 淇淇的结论正确
C. 嘉嘉、淇淇的结论合起来正确
D. 嘉嘉、淇淇的结论合起来也不正确，还有一种情况

答案： C

11. 如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
（1）求证：PA = EF.
（2）若正方形ABCD的边长为10，求四边形PFCE的周长.

答案：

(1)证明：如图,连接PC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABD=∠CBD=45°,
∠BCD=90°.
在△ABP与△CBP中,
AB=CB,
∠ABP=∠CBP,
BP=BP,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC.
∵PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°,
∴四边形PFCE是矩形,
∴EF=PC,
∴PA=EF.

(2)解：
∵∠EBP=45°,∠PEB=90°,
∴BE=PE,
∴PE+EC=BE+EC=BC=10,
∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2BC=20.