《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

9. 用简便方法计算：
（1）$1.37^{2}+2× 1.37× 8.63 + 8.63^{2}$；
（2）$(2\frac{2}{5})^{10}× (-\frac{5}{6})^{10}× (\frac{1}{2})^{11}$.

答案： 9.解：
(1)原式$=(1.37 + 8.63)^{2}=10^{2}=100$。
(2)原式$=[2\frac{2}{5}×(-\frac{5}{6})×\frac{1}{2}]^{10}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。

10. [2024 长沙模拟]【基础体验】
（1）若实数 $a$，$b$ 满足 $a + b = 4$，$ab = 3$，求 $a^{2}+b^{2}$ 的值；
【进阶实践】
（2）若实数 $x$ 满足 $x(10 - x)=48$，求 $x^{2}+(10 - x)^{2}$ 的值.
【高阶探索】
（3）如图，已知正方形 $AEGF$ 与正方形 $ABCD$ 的面积之和为 $65$，$BE = 3$，求长方形 $ABHF$ 的面积.

答案： 10.解：
(1)
∵$a + b = 4$，$ab = 3$，
∴$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=4^{2}-2×3 = 10$。
(2)设$x = a$，$10 - x = b$，
∴$a + b = x + 10 - x = 10$。
∵$x(10 - x)=48$，
∴$ab = 48$，
∴$x^{2}+(10 - x)^{2}$
$=a^{2}+b^{2}$
$=(a + b)^{2}-2ab$
$=10^{2}-2×48$
$=100 - 96$
$=4$。
(3)设正方形$ABCD$的边长为$a$，正方形$AEGF$是边长为$b$。
∵正方形$AEGF$与正方形$ABCD$的面积之和为$65$，
∴$a^{2}+b^{2}=65$。
∵$BE = 3$，即$AB - AE = 3$，
∴$a - b = 3$，
∴$2ab = a^{2}+b^{2}-(a - b)^{2}=65 - 3^{2}=56$，
∴$ab = 28$，
∴$AF· AB = 28$，
∴长方形$ABHF$的面积为$28$。

11. 我们约定：若关于 $x$ 的整式 $A = a_{1}x^{2}+b_{1}x + c_{1}$ 与 $B = a_{2}x^{2}+b_{2}x + c_{2}$ 同时满足：$(a_{2}-c_{1})^{2}+(b_{2}+b_{1})^{2}+|c_{2}-a_{1}|=0$，$(b_{1}-b_{2})^{2025}\neq 0$，则称整式 $A$ 与整式 $B$ 互为“美美与共”整式. 根据该约定，解答下列问题：
（1）若关于 $x$ 的整式 $A = 2x^{2}+kx + 3$ 与 $B = mx^{2}+x + n$ 互为“美美与共”整式，求 $k$，$m$，$n$ 的值；
（2）若关于 $x$ 的整式 $M=(x + a)^{2}$，$N=x^{2}-2x + b$（$a$，$b$ 为常数），$M$ 与 $N$ 互为“美美与共”整式，求 $a$，$b$ 的值.

答案： 11.解：
(1)
∵$(a_{2}-c_{1})^{2}+(b_{2}+b_{1})^{2}+\vert c_{2}-a_{1}\vert = 0$，
∴$a_{2}-c_{1}=0$，$b_{2}+b_{1}=0$，$c_{2}-a_{1}=0$，
∴$a_{2}=c_{1}$，$b_{1}+b_{2}=0$，$a_{1}=c_{2}$。
∵$(b_{1}-b_{2})^{2025}\neq0$，
∴$b_{1}\neq b_{2}$。
∵$A = 2x^{2}+kx + 3$与$B = mx^{2}+x + n$互为“美美与共”整式，
∴$2 = n$，$k + 1 = 0$，$3 = m$，
∴$n = 2$，$k = - 1$，$m = 3$。
(2)由$M=(x + a)^{2}$，
得$M=x^{2}+2ax + a^{2}$。
∵$M$与$N$互为“美美与共”整式，
∴$1 = b$，$2a+(-2)=0$，$a^{2}=1$，
∴$a = 1$，$b = 1$。

12. 【运算能力】若 $m$，$n$ 均为正整数，且 $3^{m - 1}· 9^{n}=243$，则 $m + n$ 的值是4或5.

答案： 12.4或5

13. 【运算能力】若 $a = 2025× 2026 - 1$，$b = 2025^{2}-2025× 2026 + 2026^{2}$，则 $a$＜$b$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).

答案： 13.＜