《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

2.【综合探究】探索等腰三角形中相等的线段.
【问题情境】
数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究.
【问题初探】
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$的中点，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，垂足分别为$E$，$F$. 经过合作，该小组的同学得出的结论是$DE = DF$. 并且展示了他们的证法如下：
证明：如图①，
$\because DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
$\therefore\angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ}$.
$\because AB = AC$，
$\therefore\angle B = \angle C$(依据 1).
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore BD = CD$.
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle DEB = \angle DFC,\\\angle B = \angle C,\\BD = CD,\end{cases}$
$\therefore\triangle BDE\cong\triangle CDF$(依据 2).
$\therefore DE = DF$.
①请写出依据 1 和依据 2 的内容：
依据 1：等边对等角(答案不唯一).
依据 2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(答案不唯一).
②请你利用图②写出一种不同于希望小组的同学们的证法.
【问题再探】
(2)未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如果在等腰三角形$ABC$中，作腰$AB$上的高$CG$，如图③，则$CG$与$DE$有确定的数量关系. 请你直接写出这个数量关系为CG = 2DE.
【类比探究】
(3)奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在图④中，若$DE$，$DF$分别为$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的中线，那么$DE = DF$仍然成立；②在图⑤中，若$DE$，$DF$分别为$\triangle ABD$和$\triangle ACD$的角平分线，那么$DE = DF$仍然成立. 请你选择其中一个结论，写出证明过程.

答案：
2.
(1)①等边对等角(答案不唯一) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(答案不唯一)
②解：如答图①，连接AD.
∵AB = AC，D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.

(2)CG = 2DE 【解析】 如答图②，连接AD.
∵AB = AC，D是BC的中点，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF，
∵$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD}$，
∴$\frac{1}{2}AB·CG = \frac{1}{2}·AB·DE + \frac{1}{2}AC·DF$，
∴CG = 2DE.
(3)解：选择①，证明：
∵DE，DF是△ABD和△ACD的中线，
∴$BE = \frac{1}{2}AB$，$CF = \frac{1}{2}AC$.
∵AB = AC，
∴BE = CF，∠B = ∠C.
又
∵D是BC的中点，
∴BD = CD.
在△BDE和△CDF中，$\begin{cases} BE = CF \\ ∠B = ∠C \\ BD = CD \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴DE = DF.
选择②，证明：
∵AB = AC，D是BC的中点，
∴∠B = ∠C，BD = CD，AD⊥BC，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°.
又
∵DE，DF分别是△ABD和△ACD的角平分线，
∴∠BDE = ∠CDF = 45°.
在△BDE和△CDF中，$\begin{cases} ∠B = ∠C \\ BD = CD \\ ∠BDE = ∠CDF \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA)，
∴DE = DF.