《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

1. [2024长沙模拟]下列计算结果正确的是(D)

A.$a^{3}· a^{3}=a^{9}$
B.$m^{2}· n^{2}=mn^{4}$
C.$x^{m}· x^{3}=x^{3m}$
D.$y· y^{n}=y^{n + 1}$

答案： 1.D

2. [2024株洲模拟]下列幂的运算中，正确的是(A)

A.$(-a^{2})· (-a)^{2}=-a^{4}$
B.$(-a)^{2}· (-a)^{2}=-a^{4}$
C.$(-a)· (-a)^{3}=-a^{4}$
D.$(-a)· (-a^{2})=-a^{4}$

答案： 2.A

3. 填空：(1)$a^{2}· a^{3}=$$a^{5}$；
(2)$b^{3}·$($b^{7}$)$=b^{10}$；
(3)$(-a)^{3}· (-a)^{4}=$$-a^{7}$。

答案： 3.
(1)$a^{5}$
(2)$b^{7}$
(3)$-a^{7}$

4. 计算：
(1)$\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}×\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}$；(2)$10^{3}×10^{4}×10^{5}$；
(3)$a^{10}· a^{2}· a$。

答案： 4.解：
(1)原式=$(-\frac{1}{2})^{5}=-\frac{1}{32}$.
(2)原式=$10^{12}$.
(3)原式=$a^{13}$.

5. 已知$x^{m}=6$，$x^{n}=2$，则$x^{m + n}=$12。

答案： 5.12

6. 请分析以下解答过程是否正确？如不正确，请写出正确的解答过程。
计算：(1)$x· x^{3}$；
(2)$(-x)^{2}· (-x)^{4}$；
(3)$x^{4}· x^{3}$。
解：(1)$x· x^{3}=x^{0 + 3}=x^{3}$。
(2)$(-x)^{2}· (-x)^{4}=(-x)^{6}=-x^{6}$。
(3)$x^{4}· x^{3}=x^{4×3}=x^{12}$。

答案： 6.解：
(1)
(2)
(3)的解答过程均不正确.正确的解答过程如下：
(1)$x· x^{3}=x^{1 + 3}=x^{4}$.
(2)$(-x)^{2}· (-x)^{4}=(-x)^{2 + 4}=(-x)^{6}=x^{6}$.
(3)$x^{4}· x^{3}=x^{4 + 3}=x^{7}$.

7. 如果$a^{c}=b$，那么我们规定$(a,b)=c$。
例如：$\because2^{3}=8$，$\therefore(2,8)=3$。
(1)根据上述规定，填空：
$(3,27)=$3，$(4,16)=$2；
(2)记$(3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$，求证：$a + b = c$。

答案： 7.
(1)3 2
证明：
(2)
∵(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,
∴$3^{a}=5$,$3^{b}=6$,$3^{c}=30$,
∴$3^{a}· 3^{b}=30$,
∴$3^{a}· 3^{b}=3^{c}$,
∴$3^{a + b}=3^{c}$,
∴$a + b = c$.

8. 【创新意识】阅读下列材料：
小明为计算$1 + 2 + 2^{2}+·s+2^{2024}+2^{2025}$的值，采用以下方法：
设$S = 1 + 2 + 2^{2}+·s+2^{2024}+2^{2025}$，①
则$2S = 2 + 2^{2}+2^{3}+·s+2^{2025}+2^{2026}$，②
由②$-$①，得$2S - S = S = 2^{2026}-1$。
请仿照小明的方法解决以下问题：
(1)$1 + 2 + 2^{2}+·s+2^{9}=$2^{10}-1；
(2)$3 + 3^{2}+·s+3^{10}=$\frac{3^{11}-3}{2}；
(3)求$1 + a + a^{2}+·s+a^{n}$的和$(a\gt0$，且$a\neq1$，$n$是正整数$)$。

答案： 8.解：
(1)$2^{10}-1$
(2)$\frac{3^{11}-3}{2}$
(3)令$N = 1 + a + a^{2}+·s + a^{n}$,③
则$aN = a + a^{2}+ a^{3}+·s + a^{n + 1}$,④
由④-③,得
$aN - N=(a - 1)N = a^{n + 1}-1$.
∵$a\neq 1$,
∴$a - 1\neq 0$,
∴$N=\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}$
即$1 + a + a^{2}+·s + a^{n}=\frac{a^{n + 1}-1}{a - 1}$.