《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

10. 运用乘法公式计算：
(1)$(2a + 3b - 1)(1 + 2a + 3b)$；
(2)$(a + b + c)(a - b - c) + (a + b + c)^2$。

答案： 10.解：
(1)原式=[(2a+3b)-1][(2a+3b)+1]
$=(2a+3b)^{2}-1^{2}$
$=4a^{2}+12ab+9b^{2}-1.$
(2)原式$=[a+(b+c)][a-(b+c)]+[a+(b+c)]^{2}$
$=a^{2}-(b+c)^{2}+a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2}$
$=2a^{2}+2ab+2ac.$

11. 已知$x$满足$(x - 125)^2 + (x - 127)^2 = 202$，求$x - 126$的值。

答案： 11.解：
∵$(x-125)^{2}+(x-127)^{2}=202,$
$\therefore(x-126+1)^{2}+(x-126-1)^{2}=202,$
$\therefore(x-126)^{2}+2(x-126)×1+1^{2}+(x-126)^{2}-2(x-126)×1+1^{2}=202,$
$\therefore2(x-126)^{2}+2=202,$
$\therefore(x-126)^{2}=100,$
$\therefore x-126=±10.$

12. 阅读下面材料，并完成相应的任务。
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性。观察下列等式：
$15^2 = 1×(1 + 1)×100 + 25 = 225$；
$25^2 = 2×(2 + 1)×100 + 25 = 625$；
$35^2 = 3×(3 + 1)×100 + 25 = 1225$；
……
我们发现如下速算规律：十位数字是$a$（$a$是1至9的整数），个位数字是5的两位数的平方的结果是$100a(a + 1) + 25$。我们可以用所学知识证明这个结论。这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理。
任务：
(1)请根据上述规律计算：$75^2 =$5 625 $_$；$95^2 =$9 025 $_$。
(2)请证明上述阅读材料中的结论。

答案： 12.
(1)5 625 9 025
证明：
(2)十位数字是a(a是1至9的整数)，个位数字是5的两位数可以表示为10a+5，
则$(10a+5)^{2}=100a^{2}+2×10a×5+25=100a^{2}+100a+25,$
$100a(a+1)+25=100a^{2}+100a+25,$
$\therefore(10a+5)^{2}=100a(a+1)+25$成立.

13.【模型观念】如图，分别以$a$，$b$，$m$，$n$为边长作正方形，已知$m ＞ n$，且满足$am - bn = 2$，$an + bm = 4$。
(1)若$a = 3$，$b = 4$，求图①阴影部分的面积；
(2)若图①阴影部分的面积为3，图②中四边形$ABCD$的面积为5，求图②中阴影部分的面积。

答案： 13.解：
(1)图①阴影部分的面积为$a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25.$
(2)由题意，得$a^{2}+b^{2}=3,$图②中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB=m,CD=n,它的高为(m+n),
$\therefore\frac{1}{2}(m+n)(m+n)=5,$
即$(m+n)^{2}=10.$
∵am-bn=2,an+bm=4,
$\therefore(a^{2}+b^{2})(m^{2}+n^{2})=20.$
∵$a^{2}+b^{2}=3,\therefore m^{2}+n^{2}=\frac{20}{3}.$
∵$(m+n)^{2}=10,\therefore mn=\frac{5}{3}.$
∵图②中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
$\therefore$阴影部分的面积为$\frac{1}{2}(m+n)^{2}-\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}n^{2}=mn=\frac{5}{3}.$