《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

9. 已知$\vert x - 4\vert + (y - 9)^{2} = 0$，试求代数式$(\frac{x - y}{x + y})^{2} · \frac{x + y}{x^{2} - 4xy + 4y^{2}} ÷ (\frac{x - y}{x - 2y})^{2}$的值。

答案： 9.解：由|x-4|$+(y-9)^2=0,$得x=4,y=9.
$ \therefore (\frac{x-y}{x+y})^2 · \frac{x+y}{x^2-4xy+4y^2} ÷ (\frac{x-y}{x-2y})^2 $
$= \frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2} $
$= \frac{1}{x+y} $
当x=4,y=9时，原式$= \frac{1}{4+9} = \frac{1}{13}$

10. 有这样一道题：“计算$\frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2} - 1} ÷ \frac{x - 1}{x^{2} + x} ÷ (\frac{1}{x})^{3}$的值，其中$x = 2$”，小明同学把$x = 2$抄错为$x = -2$，但是他计算的结果也是正确的，你能说说这是怎么回事吗？

答案： 10.解：原式$= \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x(x+1)}{x-1} · x^3 = x^4 $
$ \therefore $当x=2或x=-2时，原式都为16.

11. [2024 长沙模拟]老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：
$· \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2x + 1} ÷ \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$。
（1）求被手遮住部分的代数式；
（2）等式左边的代数式的值能等于 0 吗？请说明理由。

答案： 11.解
(1)设被手遮住部分的代数式为A，
则$A= \frac{x+1}{x-1} · \frac{x}{x+1} ÷ \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} = \frac{x}{x-1} · \frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} = \frac{x}{x+1} $
(2)等式左边的代数式的值不能等于0.理由如下：
若等式左边的代数式的值为0，则$\frac{x+1}{x-1}=0，$即x+1=0，
当x+1=0时，原分式无意义，
$ \therefore $等式左边的代数式的值不能等于0.

12. 【创新意识】阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值。
解：由$\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$知$x \neq 0$，
$\therefore \frac{x^{2} + 1}{x} = 3$，即$x + \frac{1}{x} = 3$。
$\therefore \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$
$= (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$
$= 3^{2} - 2$
$= 7$。
故$\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$的值为$\frac{1}{7}$。
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知$\frac{x}{x^{2} - 3x + 1} = \frac{1}{5}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$的值。

答案： 12.解：由$\frac{x}{x^2-3x+1} = \frac{1}{5}$知$x \neq 0，$
$ \therefore \frac{x^2-3x+1}{x} =5,$即$x-3+ \frac{1}{x} =5. $
$ \therefore x+ \frac{1}{x} =8，$
$ \therefore \frac{x^4+x^2+1}{x^2} =x^2+1+ \frac{1}{x^2} $
$= (x+ \frac{1}{x})^2 -1 $
$=8^2 -1 $
=63.
故$\frac{x^2}{x^4+x^2+1}$的值为$\frac{1}{63}$