《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

6. 如图，在等边三角形 ABC 中，M 为 AB 边上任意一点，延长 BC 至点 N，使 CN = AM，连接 MN 交 AC 于点 P，MH⊥AC 于点 H.
（1）求证：MP = NP；
（2）若 AB = a，求线段 PH 的长（结果用含 a 的代数式表示）.

答案：
6.
(1)证明:过点M作MQ//BC,交AC于点Q,如答图.
　　　　　　
在等边三角形ABC中,
∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵MQ//BC,
∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,
∴△AMQ是等边三角形,
∴AM=QM.
∵AM=CN,
∴QM=CN.
在△QMP和△CNP中,
\begin{cases} ∠QPM=∠CPN,\\ ∠QMP=∠CNP,\\ QM=CN, \end{cases}
∴△QMP≌△CNP(AAS),
∴MP=NP.
(2)解:
∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC,
∴AH=HQ.
∵△QMP≌△CNP,
∴QP=CP.
∴PH=HQ+QP=$\frac{1}{2}$AC.
∵AB=a,AB=AC,
∴PH=$\frac{1}{2}$a.

7. [2024 邵阳模拟]如图，在△ABC 中，DE 垂直平分 AB，分别交 AB，BC 于点 D，E，AE 平分∠BAC，∠B = 30°.
（1）求∠C 的度数；
（2）若 DE = 2，求 BC 的长.

答案： 7.解:
(1)
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠B=∠BAE=30°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAE=2×30°=60°,
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−60°−30°=90°.
(2)
∵AE平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴EC=ED=2.
∵DE垂直平分AB,
∴∠BDE=90°.
在△BDE中,∠BDE=90°,∠B=30°.
∴BE=2DE=2×2=4.
∴BC=BE+EC=4+2=6.

8. [2024 长沙模拟]新定义：顶角相等且顶角的顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”.
(1)如图①，若△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB = AC，AD = AE.
①∠BAD = ∠CAE(填“＞”“＜”或“=”)；
②连接线段 BD，CE，则 BD = CE(填“＞”“＜”或“=”).
(2)如图②，△ABC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 90°，B，D，E 三点在同一条直线上，AC 与 BE 交于点 F，若 F 为 AC 的中点，求∠BEC 的度数.

(3)如图③，△FDC 和△ADE 互为“兄弟三角形”，DC = DF，DA = DE，∠FDC = ∠ADE = 90°，C，F，A 三点在同一条直线上，CD 交 AB 于点 B，B，F，E 三点在同一条直线上，AB = AC，∠CAB = 90°，△BCF 的面积为 18，求 AF 的长.

答案：
8.解:
(1)①=　②=
(2)
∵∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=45°,
∴∠ADB=∠ADE+∠DAE=45°+90°=135°.
易证△ABD≌△ACE,
∴∠AEC=∠ADB=135°,
∴∠BEC=∠AEC−∠AED=135°−45°=90°.
(3)连接CE,如答图.
　　　　　　
∵∠FDC=∠ADE=90°,
∴∠CDE=∠FDA.
在△CDE和△FDA中,
\begin{cases} CD=FD,\\ ∠CDE=∠FDA,\\ DE=DA, \end{cases}
∴△CDE≌△FDA(SAS),
∴CE=AF,∠DCE=∠AFD.
∵DC=DF,∠FDC=90°,
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴∠DCF=∠CFD=45°,
∴∠AFD=180°−∠DFC=135°,
∴∠DCE=∠AFD=135°,
∴∠ECA=∠DCE−∠DCF=135°−45°=90°,
∴∠ACE=∠BAC=90°,
∴CE//AB,
∴S△ACE=S△ECB.
∵△CEF是公共部分,
∴S△AEF=S△CFB=18.
设AF的长度为a,
则$S_{\triangle AEF}=\frac{a^2}{2}=18$,
解得a=6(负值已舍去).
故AF的长为6.