《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

1. [2023张家界模拟]下列式子是最简分式的是(C)

A.$\frac{b - a}{b^{2} - a^{2}}$
B.$\frac{a^{2}b}{a}$
C.$\frac{1}{x - y}$
D.$\frac{a}{8}$

答案： 1.C

2. 约分：
(1) $\frac{8m^{2}n}{2mn^{2}}$；
(2) $\frac{5ab}{20a^{2}b}$。

答案： 2.解：$(1)\frac{8m^{2}n}{2mn^{2}}=\frac{4m}{n}.$
$(2)\frac{5ab}{20a^{2}b}=\frac{1}{4a}.$

3. 约分：
(1) $\frac{a^{2} - 5a}{a - 5}$；
(2) $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$。

答案： 3.解：
(1)原式$=\frac{a(a - 5)}{a - 5}=a.$
(2)原式$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1}=x - 1.$

4. 分式$\frac{b}{a^{2}}$，$\frac{a}{b^{2}}$，$\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$的最简公分母是(C)

A.$a^{2} - b^{2}$
B.$ab(a + b)(a - b)$
C.$a^{2}b^{2}(a + b)(a - b)$
D.以上都不对

答案： 4.C

5. 如果分式$\frac{3a}{a^{2} - b^{2}}$的分母经过通分后变成$2(a - b)^{2}(a + b)$，那么分子应变为(C)

A.$6a(a - b)^{2}(a + b)$
B.$2(a - b)$
C.$6a(a - b)$
D.$6a(a + b)$

答案： 5.C

6. 分式$\frac{y}{3xz}$，$\frac{x}{2y^{2}}$，$\frac{5}{4xy}$的各分母中，系数的最小公倍数是12，字母$x$，$y$，$z$的最高次幂分别是x,y²,z，因此，最简公分母是12xy²z。

答案： 6.12 x,y²,z 12xy²z

7. 通分：
(1) $x - y$与$\frac{x - y}{x + y}$；
(2) $\frac{x - 1}{x^{2} + 2x + 1}$与$\frac{2}{x^{2} - 1}$。

答案： 7.解：
(1)两式的最简公分母为x + y，
$\therefore\frac{x - y}{x + y}=\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$，
$\frac{x - y}{x + y}=\frac{x - y}{x + y}$.
(2)两式的最简公分母为$(x + 1)^{2}(x - 1)$，
$\therefore\frac{x - 1}{x^{2}+2x + 1}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x + 1)^{2}(x - 1)}$，
$\frac{2}{2(x + 1)}=\frac{2(x - 1)}{(x + 1)^{2}(x - 1)}=\frac{2x + 2}{(x + 1)^{2}(x - 1)}$.

8. 对分式$\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b}$的变形：
甲同学的解法是：$\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a + b} = a - b$；
乙同学的解法是：$\frac{a^{2} - b^{2}}{a + b} = \frac{(a^{2} - b^{2})(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a^{2} - b^{2})(a - b)}{a^{2} - b^{2}} = a - b$。
请判断甲、乙两位同学的解法是否正确，并说明理由。

答案： 8.解：甲同学的解法正确，乙同学的解法不正确.理由如下：
乙同学在进行分式的变形时，分子、分母同乘(a - b)，而(a - b)可能为0，
$\therefore$乙同学的解法不正确.

9. 约分：
(1) $\frac{m^{3} - m}{4m + 4}$；
(2) $\frac{9a^{2} + 24ab + 16b^{2}}{3a + 4b}$。

答案： 9.解：
(1)$\frac{m^{3}-m}{4m + 4}=\frac{m(m + 1)(m - 1)}{4(m + 1)}=\frac{m(m - 1)}{4}$.
(2)$\frac{9a^{2}+24ab + 16b^{2}}{3a + 4b}=\frac{(3a + 4b)^{2}}{3a + 4b}=3a + 4b$.

10. 通分：
(1) $\frac{4a}{5b^{2}c}$，$\frac{3c}{10a^{2}b}$与$\frac{5b}{-2ac^{2}}$；
(2) $\frac{x}{9 - x^{2}}$与$\frac{3}{x^{2} - 6x + 9}$；
(3) $\frac{1}{(x - 1)^{2}}$，$\frac{1}{x^{2} - 1}$与$\frac{3}{(x - 1)(x - 2)}$。

答案： 10.解：
(1)最简公分母为$10a^{2}b^{2}c^{2}$，
$\frac{4a}{5b^{2}c}=\frac{8a^{3}c}{10a^{2}b^{2}c^{2}}$，$\frac{3c}{10a^{2}b}=\frac{3bc^{3}}{10a^{2}b^{2}c^{2}}$，
$\frac{5b}{-2ac^{2}}=\frac{-25ab^{3}}{10a^{2}b^{2}c^{2}}$.
(2)最简公分母为$(x + 3)(3 - x)^{2}$，
$\frac{x}{9 - x^{2}}=\frac{x(3 - x)}{(x + 3)(3 - x)^{2}}$，
$\frac{3}{x^{2}-6x + 9}=\frac{3(x + 3)}{(x + 3)(3 - x)^{2}}$.
(3)最简公分母为$(x + 1)(x - 1)^{2}(x - 2)$，
$\frac{1}{(x - 1)^{2}}=\frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)^{2}(x - 2)}$，
$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x + 1)(x - 1)^{2}(x - 2)}$，
$\frac{3}{(x - 1)(x - 2)}=\frac{3(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)^{2}(x - 2)}$.