《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

6. 如图，在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，$AB = 10$，$AD$是$\angle BAC$的平分线。若点$P$，$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，则$PC + PQ$的最小值是$\frac{24}{5}$。

答案： 6.$\frac{24}{5}$

7. [2024绥化]如图，已知$\angle AOB = 50^{\circ}$，$P$为$\angle AOB$内部一点，$M$，$N$分别为射线$OA$，$OB$上的两个动点，当$\triangle PMN$的周长最小时，求$\angle MPN$的度数。

答案：
7.解:如答图,作点P关于OA的对称点E,连接EP,EO,EM,OP,作点P关于OB的对称点F,连接NF,PF,OF,

∴EM = MP,∠MPO = ∠OEM,∠EOM = ∠MOP,PN = FN,∠OPN = ∠OFN,∠PON = ∠NOF,
∴PM + PN + MN = EM + NF + MN ≥ EF.
∴当点E,M,N,F共线时，△PMN的周长最小.
又
∵∠EOF = ∠EOM + ∠MOP + ∠PON + ∠NOF,
∠AOB = ∠MOP + ∠PON,
∴∠EOF = 2∠AOB.
又
∵∠AOB = 50°,
∴∠EOF = 2×50° = 100°,
∴在△EOF中,∠OEM + ∠OFN + ∠EOF = 180°,
∴∠OEM + ∠OFN = 180°−100° = 80°.
∵∠MPO = ∠OEM,∠OPN = ∠OFN,
∴∠MPN = ∠MPO + ∠OPN = 80°.

8. 【推理能力】【课题回顾】
在学习《综合与实践 最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题。
【问题探究】
如图①，在等边三角形$ABC$中，$D$为$BC$的中点，$P$，$Q$分别为$AC$，$BC$上的点，$AP = CQ = 2$，$DQ = 1$，$M$是线段$AD$上的动点，连接$MP$，$MQ$，求$MP + MQ$的最小值。
(1)小明提出的探究思路如下：如图②，作点$Q$关于直线$AD$的对称点$Q'$，连接$PQ'$交$AD$于点$M$，连接$MQ$，根据“两点之间，线段最短”，可知此时$MP + MQ$的值最小。
①请你运用小明的探究思路，证明此时$MP + MQ$的值最小；
②求$MP + MQ$的最小值。
【类比探究】
(2)如图③，在平面直角坐标系中，点$A$的坐标为$(4,0)$，$B$为$y$轴正半轴上一点，连接$AB$，$\angle ABO = 30^{\circ}$，$C$为$AB$的中点，$OD$平分$\angle AOB$交边$AB$于点$D$，$P$为边$OB$上的一个动点。若点$M$在线段$OD$上，连接$MC$，$MP$，当$MC + MP$的值最小时，请直接写出点$P$的坐标为(0,2)。

答案：
8.
(1)①证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB = AC.
∵D为BC的中点,
∴AD垂直平分BC.
如答图，在AD上另取一点M',作点Q关于直线AD的对称点为Q',点Q'在BC上,点M,M'在AD上,连接PM',M'Q',M'Q,

∴MQ = MQ',M'Q = M'Q’,
∴MP + MQ = MP + MQ' = PQ'.
在△M'PQ’中,PQ'＜PM'+M'Q’,
∴MP + MQ＜PM'+M'Q’,
∴线段PQ'的长度即是MP + MQ的最小值.
②解:
∵△ABC是等边三角形,D为BC的中点，
∴AB = AC = BC = 2CD,∠C = 60°，AD⊥BC.
∵CQ = 2,DQ = 1,
∴CD = BD = CQ + DQ = 3,
∴AB = AC = BC = 6.
∵点Q关于直线AD的对称点为Q',
∴DQ = DQ' = 1,
∴BQ' = BD−DQ' = 2 = AP,
∴CP = CQ' = AC−AP = BC−BQ' = 4.
∵∠C = 60°,
∴△CPQ'是等边三角形,
∴PQ' = CP = 4,
∴MP + MQ的最小值为4.
(2)(0,2)