《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

9. [2024长沙模拟]将一副直角三角板按照如图方式摆放，点$C$，$B$，$E$共线，$\angle FEB = 62^{\circ}$，则$\angle EDB$的度数为13°。

答案： 9.13°

10. [2023株洲]《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”。意思是：“……直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘……”即：$1$宣$=\frac{1}{2}$矩，$1$欘$=1\frac{1}{2}$宣(其中，$1$矩$=90^{\circ}$)。
问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若$\angle A = 1$矩，$\angle B = 1$欘，则$\angle C =$22.5°。

答案： 10.22.5°

11. 如图，$\triangle ABC$，$\triangle CDE$均为直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，且$\angle B = 45^{\circ}$，$\angle D = 30^{\circ}$，$CF$平分$\angle DCE$交$DE$于点$F$。

（1）求证：$CF // AB$；
（2）求$\angle DFC$的度数。

答案： 11.
(1)证明：
∵∠DCE=90°,且CF平分∠DCE，
∴$∠FCE=\frac{1}{2}∠DCE=45°.$
又
∵∠B=45°，
∴∠FCE=∠B，
∴CF//AB.
(2)解：由
(1)知,∠FCD=∠FCE=45°.
在△CDF中,∠D=30°，
∴∠DFC=180°-∠D-∠FCD=105°.

12. 如图，$AB$，$ED$均垂直于$BD$，点$B$，$D$是垂足，且$\angle ACB = \angle CED$。求证：$\triangle ACE$是直角三角形。

答案： 12.证明：
∵AB⊥BD,ED⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°，
∠CED+∠DCE=90°.
∵∠ACB=∠CED，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90°.
∴△ACE是直角三角形.

13. 【推理能力】[2024怀化模拟]定义：如果一个三角形的两个内角$\alpha$与$\beta$满足$2\alpha + \beta = 90^{\circ}$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
(1)若$\triangle ABC$是“准互余三角形”，$\angle C ＞ 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，则$\angle B =$15°。
(2)若$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
①如图，若$AD$是$\angle BAC$的平分线，请你判断$\triangle ABD$是不是“准互余三角形”？并说明理由。
②$E$是边$BC$上一点，$\triangle ABE$是“准互余三角形”，若$\angle B = 24^{\circ}$，则$\angle EAC =$33°或24°。

答案： 13.解：
(1)15°
(2)①△ABD是“准互余三角形”.
理由如下：
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD.
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴2∠BAD+∠B=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”.
②33°或24°【解析】由题意可得∠AEB＞90°.
∵△ABE是“准互余三角形”，
∴分两种情况：
当∠B+2∠BAE=90°时，∠BAE=33°，
∴∠AEB=180°-∠B-∠BAE=123°，
∴∠AEC=180°-∠AEB=57°，
∴∠EAC=90°-∠AEC=33°；
当2∠B+∠BAE=90°时，∠BAE=42°，
∴∠AEB=180°-∠B-∠BAE=114°，
∴∠AEC=180°-∠AEB=66°，
∴∠EAC=90°-∠AEC=24°，
∴∠EAC=33°或24°.