《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

11. 如图，在△ABC中，AB=AC，G是△ABC的重心，过点G作GD⊥AB，GE⊥AC，垂足分别为点D，E。
(1)猜想：GD=GE；
(2)试对上面的猜想加以证明。

答案： 11.解:
(1)=
(2)连接AG并延长交BC于点F,连接BG,CG(图略),
∵G是△ABC的重心,
∴AF是△ABC的中线,
∴S△ABF=S△ACF,S△BGF=S△GFC,
∴S△ABG=S△AGC.
∵S△ABG=$\frac{1}{2}$AB·DG,S△AGC=$\frac{1}{2}$AC·GE,AB=AC,
∴GD=GE.

12. 在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形完全相同。
(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上关系的直线有无数组；
(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；

(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？

答案：
12.解:
(1)无数
(2)如答图所示.

(3)这两条直线过平行四边形的对角线的交点.

13. 【应用意识】（1）在图①给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线，竖直方向的直线，与水平方向成45°角的直线和任意的直线），将每个正方形都分割成面积相等的两部分；

（2）如图②，一条竖直方向的直线m以及任意的直线，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S₁和S₂。请你在图中相应图形下方的横线上分别填写S₁与S₂的数量关系式（用“＞”“＜”或“=”连接）。S₁＜S₂ S₁=S₂ S₁＞S₂

（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图③），分成面积相等的两个部分，请简略说出理由。

答案：
13.解:
(1)画出的直线如答图.

（2）S₁＜S₂ S₁=S₂ S₁＞S₂
（3）存在.对于任意一条直线在直线从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线分割后，直线两侧图形的面积分别为S₁,S₂,两侧图形的面积由S₁＜S₂(或S₁＞S₂)的情形,逐渐变为S₁＞S₂(或S₁＜S₂)的情形,在这个平移过程中，一定会存在S₁=S₂的时刻.因此，一定存在一条直线，将一个任意的平面图形分割成面积相等的两部分.