《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

【教材母题】（教材 P133 阅读与思考）把下列多项式分解因式：
（1）$x^{2}+7x+10$；（2）$x^{2}-2x-8$；
（3）$y^{2}-7y+12$；（4）$x^{2}+7x-18$.

答案： 解：
(1)原式$=(x + 2)(x + 5)$。
(2)原式$=(x - 4)(x + 2)$。
(3)原式$=(x - 3)(x - 4)$。
(4)原式$=(x + 9)(x - 2)$。

1. 用十字相乘法分解因式：
(1)$x^{2}+6x-27=$(x + 9)(x - 3)；
(2)$6x^{2}-7x-3=$(3x + 1)(2x - 3)；
（3）$20(x+y)^{2}+7(x+y)-6=$________________________.

答案： 1.
(1)$(x + 9)(x - 3)$
(2)$(3x + 1)(2x - 3)$
(3)$(4x + 4y + 3)(5x + 5y - 2)$

2. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将多项式$2a+3ab-4-6b$分解因式.
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
解：原式$=(2a-4)+(3ab-6b)$
$=2(a-2)+3b(a-2)$
$=(a-2)(2+3b)$.
这种方法叫作分组分解法.
【类比】（1）请用分组分解法将多项式$x^{2}-a^{2}+x+a$分解因式；
【挑战】（2）请用分组分解法将多项式$ax+a^{2}-2ab-bx+b^{2}$分解因式.

答案： 2.解：
(1)原式$=(x^2 - a^2) + (x + a)$
$=(x + a)(x - a) + (x + a)$
$=(x + a)(x - a + 1)$。
(2)原式$=(a^2 - 2ab + b^2) + (ax - bx)$
$=(a - b)^2 + x(a - b)$
$=(a - b)(a - b + x)$。

3. 分解因式：
（1）$m(x-y)^{2}-x+y$；
（2）$a^{2}-2a+b^{2}-2b+2ab+1$.

答案： 3.解：
(1)原式$=m(x - y)^2 - (x - y)$
$=(x - y)[m(x - y) - 1]$
$=(x - y)(mx - my - 1)$。
(2)原式$=a^2 + 2ab + b^2 - (2a + 2b) + 1$
$=(a + b)^2 - 2(a + b) + 1$
$=(a + b - 1)^2$。

4. 分解因式：$(x^{2}+5x+2)(x^{2}+5x+3)-12$.

答案： 4.解：设$x^2 + 5x = a$，
则原式$=(a + 2)(a + 3) - 12$
$=a^2 + 5a - 6$
$=(a - 1)(a + 6)$，
$\therefore$原式$=(x^2 + 5x - 1)(x^2 + 5x + 6)$
$=(x^2 + 5x - 1)(x + 2)(x + 3)$。

5. 分解因式：
（1）$x^{4}+4y^{4}$；
（2）$x^{3}+5x-6$.

答案： 5.解：
(1)原式$=x^4 + 4y^4$
$=x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2$
$=(x^2 + 2y^2)^2 - 4x^2y^2$
$=(x^2 + 2y^2 + 2xy)(x^2 + 2y^2 - 2xy)$。
(2)原式$=x^3 - x + 6x - 6$
$=x(x^2 - 1) + 6(x - 1)$
$=(x - 1)(x^2 + x + 6)$。

6. 阅读理解：已知二次三项式$2x^{2}+x+a$有一个因式是$x+2$，求另一个因式以及$a$的值.
解：设另一个因式是$2x+b$，
根据题意，得$2x^{2}+x+a=(x+2)(2x+b)$.
展开，得$2x^{2}+x+a=2x^{2}+(b+4)x+2b$.
$\therefore \begin{cases} b+4=1, \\ a=2b, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-6, \\ b=-3, \end{cases}$
$\therefore$另一个因式是$2x-3$，$a$的值是$-6$.
解决问题：已知二次三项式$3x^{2}+10x+m$有一个因式是$x+4$，求另一个因式以及$m$的值.

答案： 6.解：设另一个因式是$3x + b$，
根据题意，得$3x^2 + 10x + m = (x + 4)·(3x + b)$。
展开，得$3x^2 + 10x + m = 3x^2 + (b + 12)· x + 4b$。
$\begin{cases}b + 12 = 10,\\m = 4b,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = -2,\\m = -8,\end{cases}$
$\therefore$另一个因式是$3x - 2$，$m$的值是$-8$。