《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

1. [2024 长沙模拟]如图，小亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学全等三角形的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小亮画图的依据是(D)

A.SSS
B.SAS
C.HL
D.ASA

答案： 1.D

2. 如图，已知 $ AB // DE $，$ AB = DE $，请你添加一个条件：$\angle A=\angle D$（答案不唯一），使 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。

答案： 2.$\angle A=\angle D$（答案不唯一）

3. 如图，点 $ C $ 在线段 $ AD $ 上，$ AB = AD $，$ \angle B = \angle D $，$ BC = DE $。
（1）求证：$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $；
（2）若 $ \angle BAC = 60^{\circ} $，求 $ \angle CAE $ 的度数。

答案： 3.
(1)证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}BC=DE,\\\angle B=\angle D,\\AB=AD,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$.
(2)解：由
(1)，得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，
$\therefore\angle DAE=\angle BAC=60°$，即$\angle CAE=60°$.

4. 如图，$ D $ 是 $ \triangle ABC $ 外一点，连接 $ BD $，$ AD $，$ AD $ 与 $ BC $ 相交于点 $ O $。有下列三个等式：① $ BC = AD $；② $ \angle ABC = \angle BAD $；③ $ AC = BD $。
请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明。
已知：$BC=AD$(或①)，$\angle ABC=\angle BAD$(或②)。
求证：$AC=BD$(或③)。

答案： 4.$BC=AD$(或①)$\angle ABC=\angle BAD$(或②)
$AC=BD$(或③)
证明：$\because BC=AD$，$\angle ABC=\angle BAD$，$AB=BA$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle BAD(SAS)$，$\therefore AC=BD$.
（答案不唯一）

5. 如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线 $ BD $ 上，转轴中心 $ B $ 到地面的距离 $ BD = 3 m $。在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点 $ A $ 时，测得点 $ A $ 到 $ BD $ 的距离 $ AC = 2 m $，点 $ A $ 到地面的距离 $ AE = 1.8 m $；当从 $ A $ 处摆动到 $ A' $ 处时，有 $ A'B \perp AB $。
(1)点 $ A' $ 到 $ BD $ 的距离为1.2m；
(2)点 $ A' $ 到地面的距离为1m。
]

答案： 5.
(1)1.2
(2)1

6. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB ＞ AC $，$ P $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线 $ AD $ 上任一点。求证：$ AB - AC ＞ PB - PC $。

答案：
6.证明：解法一：如答图①，在$AB$上取一点$E$，使$AE=AC$，连接$PE$.
因为$AP$为$\angle BAC$的平分线，
所以$\angle EAP=\angle CAP$.
在$\triangle AEP$和$\triangle ACP$中，$\begin{cases}AE=AC,\\\angle EAP=\angle CAP,\\AP=AP,\end{cases}$
所以$\triangle AEP\cong\triangle ACP$(边角边)，所以$PE=PC$.
因为$AE=AC$，所以$BE=AB - AE=AB - AC$.
在$\triangle PBE$中，$BE＞PB - PE$，
所以$AB - AC＞PB - PC$.

解法二：如答图②，延长$AC$至点$M$，使$AM=AB$，连接$PM$.
因为$AP$为$\angle BAC$的平分线，
所以$\angle PAB=\angle PAM$.
在$\triangle ABP$和$\triangle AMP$中，$\begin{cases}AB=AM,\\\angle PAB=\angle PAM,\\AP=AP,\end{cases}$
所以$\triangle ABP\cong\triangle AMP(SAS)$，
所以$PB=PM$.
在$\triangle PCM$中，$CM＞PM - PC$，
所以$AM - AC＞PB - PC$，
所以$AB - AC＞PB - PC$.