《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

8. [2024达州]如图，在△ABC中，AE₁，BE₁分别是内角∠CAB，外角∠CBD的三等分线，且∠E₁AD = $\frac{1}{3}$∠CAB，∠E₁BD = $\frac{1}{3}$∠CBD.在△ABE₁中，AE₂，BE₂分别是内角∠E₁AB，外角∠E₁BD的三等分线，且∠E₂AD = $\frac{1}{3}$∠E₁AB，∠E₂BD = $\frac{1}{3}$∠E₁BD，……以此规律作下去，若∠C = m°，则∠Eₙ = \frac{1}{3^n}m°.

答案： $8. \frac{1}{3^n}m°$

9. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=81°.求∠DAC的度数.

答案： 9. 解：设∠1=α，则∠2=∠1=α.
∵∠3=∠1+∠2,∠3=∠4，
∴∠4=∠3=2α，
∴∠BAC=180°−∠4−∠2=180°−2α−α=81°，
∴α=33°.
∴∠DAC=∠BAC−∠1=81°−33°=48°.

10. 如图，点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，AD与BE交于点F.求证：∠AFB = ∠1+∠2+∠C.

答案： 10. 证明：
∵∠AFB=∠AEB+∠1，
∠AEB=∠C+∠2，
∴∠AFB=∠1+∠2+∠C.

11. 【推理能力】如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，∠B=40°，∠C=60°.
(1)求图①中∠DAE的度数；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”改为“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；
(3)如图③，在(2)的条件下，作CG平分∠ACB分别交DF，AB于点P，G，过点P作PH⊥AB，若∠B = α，∠BCA = β（∠B ＜ ∠BCA ＜ ∠BAC），其他条件不变，请直接写出∠HPG的度数（用含α，β的代数式表示）.

答案： 11. 解：
(1)在△ABC 中，∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80°.
∵AD 平分∠BAC，
∴$∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×80°=40°，$
∴∠ADE=∠BAD+∠ABD=40°+40°=80°.
∵AE⊥BC，
∴∠DAE=90°−∠ADE=90°−80°=10°.
(2)由
(1)可知，∠BAD=40°，
∴∠FDE=∠BAD+∠ABD=80°.
∵EF⊥BC，
∴∠DFE=90°−∠FDE=10°.
$(3)∠HPG=90°−α−\frac{1}{2}β.$
[解析]
∵CG 平分∠BCA，
∴$∠BCG=∠ACG=\frac{1}{2}∠BCA=\frac{1}{2}β.$
∵∠B=α，
∴$∠PGH=∠B+∠BCG=α+\frac{1}{2}β.$
∵PH⊥AB，
∴∠AHP=90°，
∴$∠HPG=90°−∠PGH=90°−(α+\frac{1}{2}β)=90°−α−\frac{1}{2}β.$