《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

10. [2024兰州]如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 130^{\circ}$，$DA\perp AC$，则$\angle ADB =$(B)

A.$100^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$145^{\circ}$

答案： 10.B

11. [2024内江]如图，在$\triangle ABC$中，$\angle DCE = 40^{\circ}$，$AE = AC$，$BC = BD$，则$\angle ACB$的度数为100°.

答案： 11.100°

12. [2023苏州]如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$ 为$\triangle ABC$ 的角平分线.以点 $A$ 圆心，$AD$ 长为半径画弧，与 $AB$，$AC$ 分别交于点 $E$，$F$，连接 $DE$，$DF$.
（1）求证：$\triangle ADE\cong\triangle ADF$；
（2）若$\angle BAC = 80^{\circ}$，求$\angle BDE$的度数.

答案： 12.
(1)证明:
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
由题意,得AE=AF.
在△ADE和△ADF中,
$\begin{cases}AE=AF,\\\angle EAD=\angle FAD,\\AD=AD,\end{cases}$
∴△ADE≌△ADF(SAS).
(2)解:
∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°.
由题意，得AE=AD,
∴∠AED=∠ADE.
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°.
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC.
∴∠BDE=90°−∠ADE=20°.

13. 【创新意识】有这样一道思考题：如图，在钢架中，$\angle A = 20^{\circ}$，焊上等长的钢条来加固钢架，若 $AP_{1} = P_{1}P_{2}$，$P_{n}P_{n + 1} = P_{n + 1}P_{n + 2}$，$AP_{n}\lt AP_{n + 1}$($n$ 为正整数)，问这样的钢条至多能焊上多少根？
(1)请补充完整如下解答过程：
解：由题意可知，$P_{1}P_{2} = P_{2}P_{3} = P_{3}P_{4} = P_{4}P_{5} =·s$
$\because\angle A = 20^{\circ}$，$AP_{1} = P_{1}P_{2}$，
$\therefore\angle AP_{2}P_{1} =$∠A.
$\therefore\angle P_{2}P_{1}P_{3} =\angle P_{1}P_{3}P_{2} = 40^{\circ}$，
同理可得，$\angle P_{3}P_{2}P_{4} =\angle P_{2}P_{4}P_{3} = 60^{\circ}$，$\angle P_{4}P_{3}P_{5} =\angle P_{4}P_{5}P_{3} =$80°.
$\therefore\angle P_{5}P_{4}B = 100^{\circ}\gt90^{\circ}$，
$\therefore$对于射线 $P_{4}B$ 上任意一点 $P_{6}$(点 $P_{4}$ 除外)，$P_{4}P_{5}\lt P_{5}P_{6}$，
$\therefore$这样的钢条至多能焊上4根.
(2)继续探究：当$\angle A = 15^{\circ}$时，这样的钢条至多能焊上多少根？

答案：
13.解:
(1)∠A　80°　4
(2)如答图

∵∠A=∠$P_1P_2A$=15°,
∴∠$P_2P_1P_3$=30°，∠$P_1P_3P_2$=30°，
∴∠$P_3P_2P_4$=45°，
∴∠$P_2P_4P_3$=45°，
∴∠$P_3P_4P_5$=60°，
∴∠$P_4P_3P_5$=60°，
∴∠$P_5P_4P_6$=75°，
∴∠$P_4P_6P_5$=75°，
∴∠$P_6P_5C$=90°，此时就不能再往上焊接了.
综上所述，这样的钢条至多能焊上5根.