《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

7. [2024 湖州模拟]如图，射线 $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线，$ D $ 是射线 $ OC $ 上一点，$ DP \perp OA $ 于点 $ P $，$ DP = 5 $。若 $ Q $ 是射线 $ OB $ 上一点，$ OQ = 4 $，则 $ \triangle ODQ $ 的面积是10。
]

答案： 7.10

8. 如图，$ \angle BAD $，$ \angle ABE $ 是 $ \triangle ABC $ 的两个外角。
（1）用尺规作图分别作 $ \angle BAD $ 和 $ \angle ABE $ 的平分线，两线交于点 $ O $；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接 $ CO $，求证：$ CO $ 平分 $ \angle ACB $。

答案：
8.解：
(1)如答图，射线$AO$，$BO$即为所求作.

(2)如答图，过点$O$作$OH⊥CD$，$OM⊥AB$，$ON⊥CE$，垂足分别为$H$，$M$，$N$.
由
(1)知，$OA$平分$\angle BAD$，$OB$平分$\angle ABE$，
$\therefore OH=OM$，$ON=OM$，
$\therefore ON=OH$，
$\therefore$点$O$在$\angle ACB$的平分线上，
$\therefore CO$平分$\angle ACB$.

9. 【探究与发现】
(1)如图①，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线，延长 $ AD $ 至点 $ E $，使 $ ED = AD $，连接 $ BE $。求证：$ \triangle ACD \cong \triangle EBD $；
(2)如图②，$ EP $ 是 $ \triangle DEF $ 的中线，若 $ EF = 5 $，$ DE = 3 $，设 $ EP = x $，则 $ x $ 的取值范围是$1＜x＜4$；
(3)如图③，$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的中线，$ E $，$ F $ 分别在 $ AB $，$ AC $ 上，且 $ DE \perp DF $。求证：$ BE + CF ＞ EF $。
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答案：
9.
(1)证明：由题意，知$BD=CD$.
在$\triangle ACD$和$\triangle EBD$中，
$\begin{cases}CD=BD,\\\angle ADC=\angle EDB,\\AD=ED,\end{cases}$
所以$\triangle ACD\cong\triangle EBD(SAS)$.
(2)$1＜x＜4$
(3)证明：如答图，延长$FD$至点$G$，使$GD=DF$，连接$BG$，$EG$.
由题意，得$BD=CD$.

在$\triangle DFC$和$\triangle DGB$中，$\begin{cases}DF=DG,\\\angle CDF=\angle BDG,\\DC=DB,\end{cases}$
所以$\triangle DFC\cong\triangle DGB(SAS)$，
所以$CF=BG$.
在$\triangle EDF$和$\triangle EDG$中，$\begin{cases}DF=DG,\\\angle FDE=\angle GDE=90°,\\DE=DE,\end{cases}$
所以$\triangle EDF\cong\triangle EDG(SAS)$，
所以$EF=EG$.
在$\triangle BEG$中，$BG+BE＞EG$.
又因为$EF=EG$，$BG=CF$，
所以$BE+CF＞EF$.

10. 【推理能力】如图，在 $ Rt \triangle ABC $ 中，$ \angle C = 90^{\circ} $，$ AC = 12 cm $，$ BC = 6 cm $，一条线段 $ PQ = AB $，$ P $，$ Q $ 两点分别在 $ AC $ 和过点 $ A $ 且垂直于 $ AC $ 的射线 $ AX $ 上运动，要使 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle QPA $ 全等，则 $ AP = $6cm或12cm。

答案： 10.6cm或12cm