《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

4. 已知$CA \perp AB$于点$A$，$DB \perp AB$于点$B$，$P$，$Q$分别为线段$AB$，$BD$上任意一点。
(1) 如图①，若$\angle CPQ = 90^{\circ}$，$CP = PQ$，求线段$AC$，$BQ$，$AB$之间的数量关系。
(2) 如图②，将“$CA \perp AB$，$DB \perp AB$”改为“$\angle A = \angle B = \alpha$（$\alpha$为锐角）”。若$\angle CPQ = \alpha$，$CP = PQ$，判断(1)中的数量关系是否会改变？并说明理由。

答案： 4.解：
(1)
∵CA⊥AB,DB⊥AB,
∴∠A=∠B=90°.
∵∠CPQ=90°,
∴∠ACP=90°-∠CPA,
∠BPQ=90°-∠CPA,
∴∠ACP=∠BPQ.
在△ACP和△BPQ中,$\begin{cases} \angle A = \angle B, \\ \angle ACP = \angle BPQ, \\ CP = PQ, \end{cases}$
∴△ACP≌△BPQ(AAS),
∴AP=BQ,AC=BP,
∴AB=AP+BP=BQ+AC.
(2)不会改变.理由如下：
∵∠ACP=180°-∠A-∠CPA=180°-α-∠CPA,
∠BPQ=180°-∠CPQ-∠CPA=180°-α-∠CPA,
∴∠ACP=∠BPQ.
在△ACP和△BPQ中,$\begin{cases} \angle A = \angle B, \\ \angle ACP = \angle BPQ, \\ CP = PQ, \end{cases}$
∴△ACP≌△BPQ(AAS),
∴AC=BP,AP=BQ,
∴AB=AP+PB=BQ+AC,
即
(1)中的数量关系不会改变.

5. 如图，已知点$B$，$E$，$C$，$F$在同一条直线上，$AB = DF$，$AC = DE$，$\angle A = \angle D$。
(1) 求证：$AC // DE$；
(2) 若$BF = 13$，$EC = 5$，求$BC$的长。

答案： 5.
(1)证明：在△ABC和△DFE中，
$\begin{cases} AB = DF, \\ \angle A = \angle D, \\ AC = DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△DFE(SAS).
∴∠ACB=∠DEF,
∴AC//DE.
(2)解：
∵△ABC≌△DFE,
∴BC=EF.
∴BE=CF=$\frac{1}{2}$(BF-EC)=4.
∴BC=BE+EC=4+5=9.