《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

8. [2024 安阳模拟]如图，AB = AD，CB = CD，AC，BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是(C)

A.OA = OC
B.点 O 到 AB，CD 的距离相等
C.点 O 到 CB，CD 的距离相等
D.∠BDA = ∠BDC

答案： 8.C

9. [2024 铜陵模拟]如图，直线 l₁，l₂，l₃ 表示三条公路.现要建造一个中转站 P，使 P 到三条公路的距离都相等，则中转站 P 可选择的点有(D)

A.一处
B.二处
C.三处
D.四处

答案： 9.D

10. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F，BE = CF.求证：AD 是△ABC 的角平分线.

答案： 10.证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF都是直角三角形.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
又
∵BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF.
又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分线.

11. [2024 重庆模拟]如图，A，B 两点分别在射线 OM，ON 上，点 C 在∠MON 的内部，CA = CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为 D，E，且 AD = BE.
（1）求证：OC 平分∠MON；
（2）若 AO = 12，BO = 4，求 OD 的长.

答案： 11.
(1)证明:
∵CD⊥OM,CE⊥ON,
∴∠CDA=90°,∠CEB=90°.
在Rt△CDA和Rt△CEB中,
$\begin{cases}CA=CB, \\AD=BE,\end{cases}$
∴Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),
∴CD=CE,
∴点C在∠MON的平分线上，
∴OC平分∠MON.
(2)解:设OD=x.
∵OA=12,
∴AD=OA - OD=12 - x,
∴BE=12 - x.
在Rt△OCD和Rt△OCE中,
$\begin{cases}CD=CE, \\OC=OC,\end{cases}$
∴Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),
∴OE=OD=x,
∴BO=OE - BE=x - (12 - x)=2x - 12=4,
解得x=8,
∴OD的长为8.

12. 【几何直观，推理能力】[2024 福州模拟]如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠DAC = 40°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，且∠AEF = 50°，连接 DE.
（1）求证：DE 平分∠ADC；
（2）若 AB = 7，AD = 4，CD = 8，且$ S_{△ACD} = 15，$求△ABE 的面积.

答案：
12.
(1)证明:过点E作EG⊥AD于点G,EH⊥BC于点H,如答图.

∵∠AEF=50°,∠F=90°,
∴∠EAF=40°,
∵∠DAC=40°,
∴∠EAF=∠DAE,
∴CA平分∠DAF.
又
∵EF⊥AB,EG⊥AD,
∴EF=EG.
∵BE平分∠ABC,EH⊥BC,EF⊥AB,
∴EF=EH,
∴EG=EH,
∴点E在∠ADC的平分线上，
∴DE平分∠ADC.
(2)解:设EG=x.
由
(1)得:EF=EH=EG=x.
∵S△ACD=15,AD=4,CD=8,
∴$\frac{1}{2}$AD·EG+$\frac{1}{2}$CD·EH=15,
即4x+8x=30,解得x=2.5,
∴EF=2.5,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·EF=$\frac{1}{2}$×7×2.5=$\frac{35}{4}$.