《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

如图，$\angle B=\angle C=90^{\circ}$，$E$是$BC$的中点，$DE$平分$\angle ADC$，求证：$AE$平分$\angle DAB$。（提示：过点$E$作$EF\perp AD$，垂足为$F$。）

答案：
教材母题　证明:如答图，过点E作EF⊥AD于点F.

∵∠C=90°,EF⊥AD,
又DE平分∠ADC,
∴CE=EF.
∵E是BC的中点，
∴BE=CE,
∴BE=EF.
又
∵∠B=90°,EF⊥AD,
∴点E在∠BAD的平分线上,
∴AE平分∠DAB.

1. 如图，已知$\angle AOB=90^{\circ}$，$OM$是$\angle AOB$的平分线，三角尺的直角顶点$P$在射线$OM$上滑动，两直角边分别与$OA$，$OB$交于点$C$，$D$。求证：$PC=PD$。

答案：
1. 证明:如答图,过点P作PE⊥OA于点E,

PF⊥OB于点F.
∴∠PEC = ∠PFD = 90°.
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PE = PF.
∵∠AOB = 90°,∠CPD = 90°,
∴∠PCE + ∠PDO = 360° - 90° - 90° = 180°.
∵∠PDO + ∠PDF = 180°,
∴∠PCE = ∠PDF.
在△PCE和△PDF中,
{
∠PCE = ∠PDF,
∠PEC = ∠PFD,
PE = PF,
}
∴△PCE ≌ △PDF(AAS).
∴PC = PD.