《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

10. 当$x = 2$，$y = - 3$时，代数式$\frac{x^{2}-y^{2}}{x}·\frac{x}{x^{2}+2xy + y^{2}}$的值为-5。

答案： 10.-5

11. 定义新运算：$x$，$y$为不相等的两个实数，$x*y=\frac{x + 2y}{x - y}$，则化简$(a*b)·[b*(-a)]$的结果是$\frac{2b^{2} - 2a^{2} - 3ab}{a^{2} - b^{2}}$。

答案： 11.$\frac{2b^{2} - 2a^{2} - 3ab}{a^{2} - b^{2}}$

12. 先化简，再求值：$\frac{a^{2}-4a + 4}{a - 2}÷\frac{a^{2}-2a}{4}$，其中$a = 3$。

答案： 12.解：$\frac{a^{2} - 4a + 4}{a - 2} ÷ \frac{a^{2} - 2a}{4}$
$=\frac{(a - 2)^{2}}{a - 2} · \frac{4}{a(a - 2)} = \frac{4}{a}$．
当$a = 3$时，原式$=\frac{4}{3}$．

13. 已知$A=\frac{2x + y}{x^{2}-2xy + y^{2}}·(x - y)$。
(1)化简$A$；
(2)若$x^{2}-6xy + 9y^{2}=0$，求$A$的值。

答案： 13.解：
(1)$A = \frac{2x + y}{(x - y)^{2}} · (x - y)$
$=\frac{2x + y}{x - y}$．
(2)$\because x^{2} - 6xy + 9y^{2} = 0$，
$\therefore (x - 3y)^{2} = 0$，
$\therefore x - 3y = 0$，
$\therefore x = 3y$，
则$A = \frac{2x + y}{x - y} = \frac{6y + y}{3y - y} = \frac{7y}{2y} = \frac{7}{2}$．

14. 【应用意识，模型观念】如图①，$A$种小麦试验田是边长为$a$m的正方形中减去一个边长为$b$m的正方形蓄水池后余下的部分；如图②，$B$种小麦试验田是边长为$\frac{1}{2}(a + b)$m的正方形. 设两块试验田都收获了$m$kg小麦。

(1)求$A$，$B$两种小麦的单位面积产量的比。
(2)当$a = 2b$时，$A$，$B$两种小麦的单位面积的产量哪个较大？
(3)若$A$，$B$两种小麦的单位面积产量相同，求$a$，$b$满足的关系式。

答案： 14.解：
(1)根据题意，得A种小麦的单位面积产量为$\frac{m}{a^{2} - b^{2}} kg$，
B种小麦的单位面积产量为$\frac{m}{\frac{1}{4}(a + b)^{2}} kg$，
则A，B两种小麦单位面积产量的比为$\frac{m}{a^{2} - b^{2}} ÷ \frac{m}{\frac{1}{4}(a + b)^{2}}$
$=\frac{m}{(a + b)(a - b)} · \frac{\frac{1}{4}(a + b)^{2}}{m} = \frac{a + b}{4(a - b)}$．
(2)当$a = 2b$时，
$\frac{m}{a^{2} - b^{2}} = \frac{m}{4b^{2} - b^{2}} = \frac{m}{3b^{2}}$，$\frac{m}{\frac{1}{4}(2b + b)^{2}} = \frac{m}{\frac{1}{4}(3b)^{2}} = \frac{4m}{9b^{2}}$，
$\because \frac{3m}{9b^{2}} ＜ \frac{4m}{9b^{2}}$，
$\therefore$B种小麦的单位面积产量较大．
(3)根据题意，得$\frac{m}{a^{2} - b^{2}} = \frac{m}{\frac{1}{4}(a + b)^{2}}$
整理，得$4(a + b)(a - b) = (a + b)^{2}$．
$\because a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a + b \neq 0$，
$\therefore 4(a - b) = a + b$，
整理，得$3a = 5b$．