《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle CBE = \angle ABD = 60^{\circ}$，$BC = BE$。求证：$BD \perp CE$。

答案：
1. 证明:如答图，连接DC,DE.

∵∠ABC = 90°, ∠CBE = ∠ABD = 60°，
∴∠CBD = ∠ABC + ∠ABD = 90° + 60° = 150°，
∴∠EBD = 360° - ∠CBD - ∠CBE = 360° - 150° - 60° = 150°，
∴∠CBD = ∠EBD。
在△CBD和△EBD中，$\begin{cases} BC = BE, \\ \angle CBD = \angle EBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴△CBD ≌ △EBD (SAS)。
∴CD = DE, BD平分∠CDE，
∴BD ⊥ CE。

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CA = CB$，$D$是$AB$的中点，$AE = CF$。
(1) 猜想：$DE$与$DF$的数量关系和位置关系分别为DE = DF、DE⊥DF；
(2) 证明你的猜想。

答案：
2.
(1)DE = DF　DE⊥DF
证明:
(2)连接CD,如答图.

∵CA = CB,∠C = 90°,
∴∠A = ∠B = 45°。
∵D是AB的中点,∠ACB = 90°，
∴AD = CD。
∵CA = CB,D是AB的中点，
∴∠DCF = $\frac{1}{2}$∠ACB = 45°，
∴∠DCF = ∠A。
在△AED和△CFD中，$\begin{cases} AD = CD, \\ \angle DAE = \angle DCF, \\ AE = CF, \end{cases}$
∴△AED ≌ △CFD (SAS)，
∴ED = DF、∠EDA = ∠CDF、∠AED = ∠DFC，
∴∠CED = ∠DFB。
∵AC = BC,AE = CF，
∴CE = BF。
在△CED和△BFD中，$\begin{cases} CE = BF, \\ \angle CED = \angle BFD, \\ ED = DF, \end{cases}$
∴△CED ≌ △BFD (SAS)，
∴∠EDC = ∠FDB。
∵∠ADE + ∠EDC + ∠CDF + ∠FDB = 180°，
∴∠EDF = 90°，
∴DE⊥DF。

3. 如图，在四边形$ADEC$中，$\angle ACE = 90^{\circ}$，$DE \perp CD$，且$CA = AD = CE$。求证：$CD = 2DE$。

答案：
3. 证明:如答图,过点A作AF⊥CD于点F.易证得△AFD≌△CDE,
∴DE = DF;
∵AC = AD,
∴CF = DF,
∴CD = 2DE。