《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

9. 如图，$AD\perp BC$ 于点 $D$，$BD = CD$，点 $C$ 在 $AE$ 的垂直平分线上。若 $AB = 5$，$BD = 3$，则 $DE$ 的长为(B)


A.$5$
B.$8$
C.$11$
D.$13$

答案： 9.B

10. 证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
已知：如图，在 $\triangle ABC$ 中，分别作边 $AB$，边 $BC$ 的垂直平分线，垂足分别为 $E$，$F$，两直线相交于点 $P$。

求证：$AB$，$BC$，$AC$ 的垂直平分线相交于点 $P$，且点 $P$ 到点 $A$，$B$，$C$ 的距离相等。
证明：$\because P$ 是边 $AB$ 垂直平分线上的一点，
$\therefore$____$=$____（____）。
同理可得，$PB =$PC。
$\therefore PA = PB =$____，
$\therefore$____（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的____上），
$\therefore AB$，$BC$，$AC$ 的垂直平分线____，且点 $P$ 到点 $A$，$B$，$C$ 的距离相等。

答案： 10.PA PB 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 PC PC 点P是边AC垂直平分线 相交于点P

11. [2023 长沙模拟]如图，$AD$ 与 $BC$ 相交于点 $O$，$OA = OC$，$\angle A=\angle C$，$BE = DE$。求证：$OE$ 垂直平分 $BD$。

答案： 11.证明：在△AOB和△COD中，
$\begin{cases} ∠A = ∠C, \\ OA = OC, \\ ∠AOB = ∠COD, \end{cases}$
∴△AOB ≌ △COD(ASA)，
∴OB = OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上.
∵BE = DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD.

12. 【推理能力】如图，在 $\triangle ABC$ 中，边 $AB$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $BC$ 于点 $D$，边 $AC$ 的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $BC$ 于点 $E$，$l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $O$，$\triangle ADE$ 的周长为 $6\ cm$。
（1）求证：$AD = BD$，$AE = CE$；
（2）求 $BC$ 的长；
（3）分别连接 $OA$，$OB$，$OC$，若 $\triangle OBC$ 的周长为 $16\ cm$，求 $OA$ 的长。

答案： 12.
(1)证明：
∵l₁是边AB的垂直平分线,l₂是边AC的垂直平分线，
∴AD = BD,AE = CE.
(2)解：
∵△ADE的周长为6cm，
∴AD + DE + EA = 6cm，
∴BC = BD + DE + EC = AD + DE + EA = 6cm.
(3)解：
∵l₁是边AB的垂直平分线,l₂是边AC的垂直平分线，
∴OB = OA,OC = OA.
∵△OBC的周长为16cm，
∴OB + OC + BC = 16cm，
∴OB + OC = 16 - 6 = 10cm，
∴OA = OB = OC = 5cm.