《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

2. 根据以下素材，尝试解决问题.

答案：
2.解：
(1)$90°$
(2)$\because AP$是$\angle BAC$的平分线，CP是$\angle ACB$的平分线，
$\therefore\angle BAC=2\angle DAC$，$\angle ACB=2\angle ACP$。
在$\triangle ABC$中，$\angle B+\angle BAC+\angle ACB=180°$，
$\therefore\angle B+2\angle DAC+2\angle ACP=180°$。
$\because\angle DPC=\angle DAC+\angle ACP$，$\angle PCD=90°$，
$\therefore\angle DPC=90°-\angle D$，即$\angle DAC+\angle ACP=90°-\angle D$。
$\therefore\angle B+2\angle DAC+2\angle ACP=\angle B+2(90°-\angle D)=180°$，
$\therefore\angle B+180°-2\angle D=180°$，$\therefore\angle B=2\angle D$。
$\because\angle B=\alpha$，$\therefore\angle D=\frac{\alpha}{2}$。
(3)$\because$当$\triangle ABC$旋转一周运动停止，
$\therefore$总时间$t=360÷12=30(s)$。
$\because$MN与EF重合时，MN再以原速返回，
$\therefore$重合时间为$t_1=75÷5=15s$，此时$\angle EPN=0°$。
如答图，延长CB交EF于点Q。

在前15s内，$\angle EQC$由$180°$逐渐减少，$\angle EPN$由$75°$逐渐减少至$0°$，
又$\because$当$t=15s$时，$\triangle ABC$旋转至$15×12°=180°$，此时$EF// BC$，而$\angle EPN$由$75°$逐渐减少至$0°$，
$\therefore$在前15s内，MN与BC仅一次平行，即MN与EF重合时，此时$t=15(s)$。
$\therefore$同理，后15s，$\angle EQC$由$0°$逐渐增至$180°$，$\angle EPN$由$0°$逐渐增至$75°$，MN与BC仅可能一次平行，
有$\angle EQC=12t_2=180-5t_2$，解得$t_2=\frac{180}{17}$，
$\therefore t=15+\frac{180}{17}=\frac{435}{17}(s)$。
综上所述，存在t的值为$15$或$\frac{435}{17}$，使得$MN// BC$。