《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

11. [2023广州]已知$a ＞ 3$，代数式：$A = 2a^{2} - 8$，$B = 3a^{2} + 6a$，$C = a^{3} - 4a^{2} + 4a$。
(1) 因式分解$A$；
(2) 在$A$，$B$，$C$中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式。

答案： 11.解：
(1)$2a^{2}-8=2(a^{2}-4)=2(a + 2)(a - 2)$.
(2)(答案不唯一)选A,B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式.
$\frac{2a^{2}-8}{3a^{2}+6a}=\frac{2(a + 2)(a - 2)}{3a(a + 2)}=\frac{2(a - 2)}{3a}$.

12. 有四块小场地：第一块是边长为$a$m的正方形，第二块是边长为$b$m的正方形，其余两块都是长为$a$m、宽为$b$m的长方形。另有一块大长方形场地，它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为$2(a + b)$m，用代数式表示出大长方形的宽。

答案： 12.解：由题意，可得这四块场地的面积和为$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$.
$\because$大长方形的面积等于这四块场地面积的和，且大长方形的长为$2(a + b)$m，
$\therefore$大长方形的宽为$\frac{(a + b)^{2}}{2(a + b)}=\frac{a + b}{2}$(m).

13. 【创新意识】定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”。例如：$\frac{4x^{2} - 8x}{x - 2} = \frac{4x(x - 2)}{x - 2} = 4x$，则称分式$\frac{4x^{2} - 8x}{x - 2}$是“巧分式”，$4x$为它的“巧整式”。
(1) 下列分式中，是“巧分式”的有①③(填序号)。
① $\frac{(x - 1)(2x - 3)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)}$；② $\frac{2x + 5}{x + 3}$；③ $\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$。
(2) 若分式$\frac{x^{2} - 4x + m}{x + n}$($m$，$n$为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为$x - 7$，$m =$-21，$n =$3；
(3) 若分式$\frac{-2x^{3} + 2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$，请判断$\frac{2x^{3} + 4x^{2} + 2x}{A}$是不是“巧分式”，并说明理由。

答案： 13.解：
(1)①③
(2)-21 3
(3)是“巧分式”.理由如下：
$\because$分式$\frac{-2x^{3}+2x}{A}$的“巧整式”为$1 - x$.
$\therefore A=\frac{-2x^{3}+2x}{1 - x}$，
$\therefore A=\frac{2x(1 + x)(1 - x)}{1 - x}=2x(1 + x)$.
$\therefore\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}=\frac{2x(x + 1)^{2}}{2x(x + 1)}=x + 1$.
又$\because x + 1$是整式，
$\therefore\frac{2x^{3}+4x^{2}+2x}{A}$是“巧分式”.