《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

2. 如图，$AB// CD$，$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle BCD$，点$E$在$AD$上。求证：$BC=AB+CD$。

答案：
2. 证明:如答图,在BC上截取BF = AB,连接EF.

∵∠ABC,∠BCD的平分线交AD于点E,
∴∠ABE = ∠FBE,∠BCE = ∠DCE.
在△ABE和△FBE中,
AB = FB,
∠ABE = ∠FBE,
BE = BE,
∴△ABE ≌ △FBE(SAS).
∴∠BAE = ∠BFE.
∵AB//CD,
∴∠BAE + ∠CDE = 180°.
∵∠BFE + ∠CFE = 180°,
∴∠CFE = ∠CDE.
在△FCE和△DCE中,
∠CFE = ∠CDE,
∠FCE = ∠DCE,
CE = CE,
∴△FCE ≌ △DCE(AAS).
∴CF = CD,
∴BC = BF + CF = AB + CD.

3. 如图，$AB=AE$，$AB\perp AE$，$AD=AC$，$AD\perp AC$，$M$为$BC$的中点。求证：$DE=2AM$。

答案：
3. 证明:如答图,延长AM至点N,使MN = AM,连接BN.

∵M为BC的中点,
∴BM = CM.
又
∵∠BMN = ∠CMA,
∴△AMC≌△NMB(SAS).
∴AC = BN,∠C = ∠NBM,∠ABN = ∠ABC + ∠C = 180° - ∠BAC = ∠EAD.
又
∵BN = AC = AD,AB = EA,
∴△ABN ≌ △EAD(SAS).
∴NA = DE.
∴DE = 2AM.