《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

1. 【感知】(1)对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式，由图①中的大正方形的面积可得到的因式分解等式为$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$.
【应用】(2)通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式. 如图②所示的是棱长为$x + y$的正方体被分割线分成$8$块. 用不同的方法计算这个正方体的体积，则这个等式为$(x + y)^3 =$$x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$.
【拓展】(3)如图③，棱长为$x$的实心大正方体切除一个棱长为$y$的小正方体，剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，则甲长方体的体积为$y^2(x - y)$，乙长方体的体积为$xy(x - y)$，丙长方体的体积为$x^2(x - y)$，甲、乙、丙三个长方体体积之和可表示为$x^3 - y^3 = y^2(x - y) + xy(x - y) + x^2(x - y) = (x - y)(y^2 + xy + x^2)$.
根据(2)和(3)中的结论解答下列问题：若图②与图③中的$x$与$y$的值分别相等，且满足$x + y = 4$，$xy = 3$，其中$x ＞ y$，求$\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$的值.

答案： 1. 解：
(1)$x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}$
(2)$x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$
(3)$\because x+y=4,xy=3$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=4^{2}-2×3=10$，
$\therefore (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}=10-2×3=4$，
$\therefore x-y=\pm2$。
又$\because x＞y$，
$\therefore x-y=2$，
$\therefore x^{3}-y^{3}=(x-y)(y^{2}+xy+x^{2})=2×(10+3)=26$。
$\because (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$，
$\therefore x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-(3x^{2}y+3xy^{2})$
$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$
$=4^{3}-3×3×4$
$=28$，
$\therefore \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{3}-y^{3}}=\frac{28}{26}=\frac{14}{13}$