《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

1. 如图，$AB // DE$，$AC // DF$，$BE = CF$。求证：$AB = DE$。

答案： 1.证明：
∵AB//DE,AC//DF,
∴∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
又
∵BE=CF,
∴BC=EF.
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases} \angle B = \angle DEF, \\ BC = EF, \\ \angle ACB = \angle F. \end{cases}$
∴△ABC≌△DEF(ASA).
∴AB=DE.

2. 如图，$AB = AC$，$CD \perp AB$于点$D$，$BE \perp AC$于点$E$，$CD$，$BE$交于点$F$。

(1) 如图①，求证：$BD = CE$；
(2) 如图②，连接$AF$，请直接写出图中所有的全等三角形。

答案： 2.
(1)证明：
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.
在△ADC和△AEB中，
$\begin{cases} \angle ADC = \angle AEB, \\ \angle A = \angle A, \\ AC = AB, \end{cases}$
∴△ADC≌△AEB(AAS),
∴AD=AE.
∵AB=AC,
∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
(2)解：图中的全等三角形有△ADC≌△AEB,△ADF≌△AEF,△ABF≌△ACF,△BDF≌△CEF.

3. 如图，$\triangle ABC$的两条高$AD$，$CE$交于点$F$，$AF = BC$。求证：$\triangle AEF \cong \triangle CEB$。

答案： 3.证明：
∵△ABC的两条高AD,CE交于点F,
∴∠ADB=∠BEC=∠AEF=90°,
∴∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90°,
∴∠BCE=∠DAB,即∠FAE=∠BCE.
在△AEF和△CEB中,$\begin{cases} \angle AEF = \angle CEB, \\ \angle FAE = \angle BCE, \\ AF = CB, \end{cases}$
∴△AEF≌△CEB(AAS).