《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

9. [2024内江模拟]小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“$ = 4x^2● + 25y^2$”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(D)

A.$+10xy$
B.$+10xy$或$-10xy$
C.$+20xy$
D.$+20xy$或$-20xy$

答案： 9.D

10. [2024长沙模拟]已知$(m - n)^2 = 32$，$(m + n)^2 = 200$，则$m^2 + n^2$的值为(A)

A.116
B.117
C.118
D.232

答案： 10.A

11. 计算：
(1)$(a + b)^2 - (a - b)^2$；
(2)$(a - b)^2(a + b)^2$；
(3)$(a - 1)(a + 1)(a^2 - 1)$；
(4)$x(x + 6) + (x - 3)^2$。

答案： 11.解：
(1)原式$=(a^{2}+2ab + b^{2})-(a^{2}-2ab + b^{2})$
$=a^{2}+2ab + b^{2}-a^{2}+2ab - b^{2}$
$=4ab$.
(2)原式$=[(a - b)(a + b)]^{2}$
$=(a^{2}-b^{2})^{2}$
$=a^{4}-2a^{2}b^{2}+b^{4}$.
(3)原式$=(a^{2}-1)(a^{2}-1)$
$=(a^{2}-1)^{2}$
$=a^{4}-2a^{2}+1$.
(4)原式$=x^{2}+6x + x^{2}-6x + 9$
$=2x^{2}+9$.

12. [2024陕西]先化简，再求值：$(x + y)^2 + x(x - 2y)$，其中$x = 1$，$y = -2$。

答案： 12.解：原式$=x^{2}+2xy + y^{2}+x^{2}-2xy$
$=2x^{2}+y^{2}$.
当$x = 1,y = -2$时，
原式$=2×1^{2}+(-2)^{2}=6$.

13. (1)已知$x^2 + y^2 = 16$，$xy = 5$，求$(x + y)^2$的值；
(2)已知$(x + y)^2 = 81$，$xy = 8$，求$x - y$的值。

答案： 13.解：
(1)$\because x^{2}+y^{2}=16,xy = 5$，
$\therefore(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=16 + 2×5=26$.
(2)$\because(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2},(x - y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}$，
$\therefore(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy=81 - 4×8=49$，
$\therefore x - y=\pm7$.

14. 【创新意识】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了$(a + b)^n$二项和的乘方规律(如图所示)。

(1)根据规律，第八行从左至右第三个数为21；
(2)当代数式$x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$的值为1时，则$x$的值为2或4。

答案： 14.
(1)$21$
(2)$2$或$4$
【解析】
(1)找规律发现$(a + b)^{3}$的第三项系数为$3 = 1+2$；
$(a + b)^{4}$的第三项系数为$6 = 1+2+3$；
$(a + b)^{5}$的第三项系数为$10 = 1+2+3+4$；
不难发现$(a + b)^{n}$的第三项系数为$1+2+3+·s+(n - 2)+$
$(n - 1)$.
$\because$第八行为$(a + b)^{7}$，
$\therefore(a + b)^{7}$展开式的第三项的系数是$1+2+3+·s+6=21$，
$\therefore$第八行从左到右第三个数为$21$.
(2)根据题意，得$(a + b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b + 6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$，
$x^{4}-12x^{3}+54x^{2}-108x + 81=x^{4}+4x^{3}·(-3)+6x^{2}·$
$(-3)^{2}+4x·(-3)^{3}+(-3)^{4}=(x - 3)^{4},\therefore(x - 3)^{4}=1$，
$\therefore x - 3=1$或$x - 3=-1$,解得$x = 2$或$x = 4$.