《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

9. 在学习三角形时，小舟和小海讨论一个证明题“如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=DC”的对话如图.你认为谁说得对？若小舟的说法正确，请写出正确证明的过程.

答案：
9.解:小舟说得对，小海的证法无法证明△ABD≌△ACD.
如答图，连接BC.

∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，
又
∵∠ABD = ∠ACD，
∴∠ABD - ∠ABC = ∠ACD - ∠ACB，
即∠DBC = ∠DCB，
∴BD = DC.

10. 有以下三个条件：①AD=AE；②∠ABE=∠ACD；③FB=FC.在这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.
问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上(不与点A，B重合)，点E在AC边上(不与点A，C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若①，求证：BE=CD.
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答案： 10.解:①(答案不唯一)
(答案不唯一)选择条件①.
证明:
∵∠ABC = ∠ACB，
∴AB = AC.
在△ABE和△ACD中，$\begin{cases}AB = AC,\\∠BAE = ∠CAD,\\AE = AD.\end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
∴BE = CD.

11. 【推理能力】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF//BC分别交AB，AC于点E，F.
(1)图中有5个等腰三角形，猜想：EF与BE，CF之间有怎样的数量关系，并说明理由.
(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们.此时第(1)问中EF与BE，CF间的数量关系还存在吗？
(3)如图③，若△ABC中∠ABC的平分线BO与△ABC的外角平分线CO交于点O，过点O作OE//BC交AB于点E，交AC于点F.这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE，CF的关系又如何？请说明理由.
]

答案：
11.解:
(1)5
EF = BE + CF，
易证△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形，
可得EF = EO + FO = BE + CF.
(2)有2个等腰三角形,为△BEO,△CFO.
EF = BE + CF存在.
(3)有等腰三角形:△BEO,△CFO,此时EF = BE - CF,
如答图,
∵OE//BC，
∴∠5 = ∠6.

又
∵∠4 = ∠5，
∴∠4 = ∠6，
∴△BEO是等腰三角形.
在△CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形.
∵BE = EO，OF = FC，
∴BE = EF + FO = EF + CF，
∴EF = BE - CF.