《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

7. [2024 东莞模拟]如图，$ \angle AOB = 15^{\circ} $，$ P $ 是射线 $ OA $ 上一点，点 $ Q $ 与点 $ P $ 关于 $ OB $ 对称，$ QM \perp OA $ 于点 $ M $。若 $ OP = 6 $，则 $ QM $ 的长为3。

答案： 7.3

8. 如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别在边 $ BC $，$ AC $ 上，$ DE // AB $，过点 $ E $ 作 $ EF \perp DE $，交 $ BC $ 的延长线于点 $ F $。
（1）求 $ \angle F $ 的度数；
（2）若 $ CD = 2 $，求 $ DF $ 的长。

答案： 8.解:
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°.
∵DE//AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°
∴∠F=90°−∠EDC=30°.
(2)
∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴∠DEC=60°,
∴△EDC是等边三角形.
∴ED=DC=2.
又
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4.

9. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ AB = AC $，$ \angle BAC = 120^{\circ} $，$ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $，交 $ CA $ 的延长线于点 $ E $。求证：$ DE = \frac{1}{2}BC $。

答案：
9.证明:如答图,过点A作AF⊥BC于点F.
　　　　　　　
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵ED垂直平分AB,
∴BA=2DA,∠EDA=90°,
∴∠E=∠BAC−∠EDA=30°.
∴EA=2DA=BA.
又
∵∠E=∠B,∠EDA=∠BFA=90°,
∴△EDA≌△BFA(AAS),
∴DE=FB.
∵AB=AC,且AF⊥BC,
∴FB=FC.
∴BC=2FB=2DE,即DE=$\frac{1}{2}$BC.

10. 【推理能力】如图，在等边三角形 $ ABC $ 中，点 $ D $，$ E $ 分别在边 $ BC $，$ AC $ 上，且 $ AE = CD $，$ BE $ 与 $ AD $ 相交于点 $ P $，$ BQ \perp AD $ 于点 $ Q $。
（1）求证：$ \triangle BAE \cong \triangle ACD $。
（2）请问 $ PQ $ 与 $ BP $ 有何数量关系？并说明理由。

答案： 10.
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°.
在△BAE和△ACD中,
$\begin{cases}AE=CD,\\∠BAE=∠ACD,\\AB=CA,\end{cases}$
∴△BAE≌△ACD(SAS).
(2)解:BP=2PQ.理由如下:
∵△BAE≌△ACD,
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ为△ABP的外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.