《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

8. [2023武汉]已知$x^{2}-x-1=0$,计算
$\left(\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x}\right) ÷ \frac{x^{2}-x}{x^{2}+2 x+1}$的值是 (A)

A.1
B.-1
C.2
D.-2

答案： 8.A 【解析】原式$=\frac{2x}{x(x+1)}-\frac{x+1}{x(x+1)}·\frac{(x+1)^{2}}{x(x-1)}=$
$\frac{x-1}{x(x+1)}·\frac{(x+1)^{2}}{x(x-1)}=\frac{x+1}{x^{2}}$.
$\because x^{2}-x-1=0$，
$\therefore x^{2}=x+1$，
$\therefore$原式$=\frac{x+1}{x+1}=1$.故选A.

9. [2024苏州]先化简,再求值:$\left(\frac{x+1}{x-2}+1\right) ÷$
$\frac{2 x^{2}-x}{x^{2}-4}$,其中$x=-3$.

答案： 9.解:$\left(\frac{x+1}{x-2}+1\right)÷\frac{2x^{2}-x}{x^{2}-4}$
$=\frac{x+1+x-2}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x(2x-1)}$
$=\frac{2x-1}{x-2}·\frac{(x+2)(x-2)}{x(2x-1)}$
$=\frac{x+2}{x}$.
当$x=-3$时,原式$=\frac{-3+2}{-3}=\frac{1}{3}$.

10. [2024遂宁]先化简$\left(1-\frac{1}{x-1}\right) ÷ \frac{x-2}{x^{2}-2 x+1}$,
再从1,2,3中选择一个合适的数作为$x$
的值代入求值.

答案： 10.解:$\left(1-\frac{1}{x-1}\right)÷\frac{x-2}{x^{2}-2x+1}$
$=\frac{x-1-1}{x-1}÷\frac{x-2}{(x-1)^{2}}$
$=\frac{x-2}{x-1}·\frac{(x-1)^{2}}{x-2}$
$=x-1$.
$\because x-1\neq0,x-2\neq0,\therefore x\neq1,x\neq2$,
当$x=3$时,原式$=3-2=2$.

11. [2024九江模拟]为了促进旅游业的发展,某度假村计划修一条长为1000m的时光隧道.已知甲工程队单独修完需要$x$天完成,乙工程队单独修完需要$y$天完成,其
中$0＜x＜y$.
(1)求甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差.
(2)若甲、乙工程队一起完成这项工程,则需要多长时间?

答案： 11.解
(1)由题意,得甲甲工程队的工作效率为$\frac{1000}{x}(m/天)$,
乙工程队的工作效率为$\frac{1000}{y}(m/天)$,
$\therefore$甲工程队的工作效率与乙工程队的工作效率之差为$\frac{1000}{x}-\frac{1000}{y}=\frac{1000(y-x)}{xy}(m/天)$.
(2)甲、乙两队合作需要的时间为$1000÷\left(\frac{1000}{x}+\frac{1000}{y}\right)=\frac{xy}{x+y}(天)$.

12.【运算意识】若$x+\frac{1}{x}=\frac{13}{6}$,且$0＜x＜1$,则
$x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=$$-\frac{65}{36}$.

答案： 12.$-\frac{65}{36}$

13.【应用意识】某化工厂委派采购员李强和张敏两次到同一家公司购买原材料,两次购买原材料的单价不同.李强购买的方式是定量购买,每次买回10t原材料;张敏购买的方式是定额购买,每次买回价值10万元的原材料.问李强和张敏的购买方式哪种更经济实惠?

答案： 13.解设两次购买原材料的单价分别为$a$万元,$b$万元,
则李强购买原材料的平均单价为$\frac{10a+10b}{20}=\frac{a+b}{2}$(万元),
张敏购买原材料的平均单价为$\frac{20}{\frac{10}{a}+\frac{10}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$(万元).
$\therefore\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^{2}-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}$,
而$a\neq b$,
$\therefore\frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}＞0$,即$\frac{a+b}{2}＞\frac{2ab}{a+b}$,
$\therefore$张敏的购买方式更经济实惠.