《2025年全效学习同步学练测八年级数学上册人教版》

【教材母题】（教材P156复习题18.3第4题）先化简，再求值：$\frac{x}{x^{2}-1}÷\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}+\frac{1}{x - 1}$，其中$x = 2$。

答案： 教材母题 解：原式$=\frac {x}{(x+1)(x-1)} · \frac {x(x+1)}{(x+1)^{2}} + \frac {1}{x-1} = \frac {x}{(x+1)(x-1)} · \frac {x(x+1)}{x(x+1)} + \frac {1}{x-1} = \frac {1}{x-1} + \frac {1}{x-1} = \frac {2}{x-1}$。
当$x=2$时，原式$=\frac {2}{2-1}=2$。

1. 先化简，再求值：$(1+\frac{1}{m - 1})·\frac{m^{2}-1}{m}$，其中$m = 2$。

答案： 1. 解：原式$=\frac {m-1+1}{m-1} · \frac {m^{2}-1}{m} $
$=\frac {m}{m-1} · \frac {(m+1)(m-1)}{m} $
$=m+1$。
当$m=2$时，原式$=2+1=3$。

2. 先化简，再求值：$(\frac{a - 1}{a}-\frac{a - 2}{a + 1})÷\frac{2a^{2}-a}{a^{2}+2a + 1}$，其中$a^{2}-a - 1 = 0$。

答案： 2. 解：原式$=[\frac {(a-1)(a+1)-a(a-2)}{a(a+1)} ÷ \frac {a(2a-1)}{(a+1)^{2}}=$
$\frac {2a-1}{a(a+1)} · \frac {(a+1)^{2}}{a(2a-1)} = \frac {a+1}{a^{2}} $。
$\because a^{2}-a-1=0,\therefore a^{2}=a+1$，
$\therefore$原式$=\frac {a+1}{a+1}=1$。

3. 先化简$(\frac{a^{2}-1}{a - 3}-a - 1)÷\frac{a + 1}{a^{2}-6a + 9}$，然后从$-1$，$0$，$1$，$3$中选一个合适的数作为$a$的值代入求值。

答案： 3. 解：原式$=\left[\frac {a^{2}-1}{a-3} - (a+1)\right] ÷ \frac {a+1}{(a-3)^{2}} $
$=\frac {a^{2}-1-(a+1)(a-3)}{a-3} ÷ \frac {a+1}{(a-3)^{2}} $
$=\frac {2(a+1)}{a-3} · \frac {(a-3)^{2}}{a+1} $
$=2(a-3)=2a-6$。
$\because a=-1$或$a=3$时，原分式无意义，
$\therefore a$只能取$1$或$0$。
当$a=1$时，原式$=2×1-6=-4$；
或当$a=0$时，原式$=0-6=-6$。

4. 先化简，再求值：$(\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}-\frac{1}{1 - x})÷(\frac{x^{2}+3x}{x - 1}-1)$，其中$x$的值为不等式组$\begin{cases}2 - x\leqslant3,\\2x - 3\lt0\end{cases}$的整数解。

答案： 4. 解：原式$=\left[\frac {x(x+1)}{(x+1)(x-1)} + \frac {1}{x-1}\right] ÷ \left(\frac {x^{2}+3x}{x-1} - \frac {x-1}{x-1}\right) $
$=\left(\frac {x}{x-1} + \frac {1}{x-1}\right) ÷ \frac {(x+1)^{2}}{x-1} $
$=\frac {x+1}{(x+1)^{2}} = \frac {1}{x+1}$。
解不等式组$\begin{cases} 2-x \leq 3, \\ 2x-3＜0, \end{cases}$得$-1 \leq x ＜ \frac {3}{2}$，
故不等式组的整数解为$-1,0,1$。
$\because$当$x=\pm1$时，原分式无意义，
$\therefore x=0$。
当$x=0$时，原式$=1$。