《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

6. 在等腰$\triangle ABC$中,$AB = AC$,一腰上的中线$BD将这个三角形的周长分成15\mathrm{~cm}和6\mathrm{~cm}$两部分,求这个等腰三角形的腰长。

答案： 设AB = AC = 2x cm,BC = y cm。
∵BD为一腰上的中线,
∴AD = CD = x cm。
①当AB + AD = 15 cm,BC + CD = 6 cm时,
则有$\left\{\begin{array}{l} 3x = 15\\ x + y = 6\end{array}\right. $,解得$\left\{\begin{array}{l} x = 5\\ y = 1\end{array}\right. $
∴三边长分别为10 cm,10 cm,1 cm,且10 + 1 ＞ 10,
∴这个等腰三角形的腰长为10 cm;
②当AB + AD = 6 cm,BC + CD = 15 cm时,
则有$\left\{\begin{array}{l} 3x = 6\\ x + y = 15\end{array}\right. $,解得$\left\{\begin{array}{l} x = 2\\ y = 13\end{array}\right. $
两腰之和4 + 4 = 8 ＜ 13,故这种情况不存在。
综上所述,这个等腰三角形的腰长为10 cm。

7. 如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle B = 30^{\circ}$,点$O在BC$边上运动($O不与B$,$C$重合),连接$AO$,作$\angle AOD = \angle B$,$OD交AB于点D$。
(1)当$OD// AC$时,判断$\triangle AOB$的形状并证明;
(2)在点$O$的运动过程中,$\triangle AOD$的形状可以是等腰三角形吗? 若可以,请求出$\angle BDO$的度数;若不可以,请说明理由。

答案：
(1)△AOB为直角三角形。理由如下:
∵AB = AC,∠B = 30°,
∴∠C = ∠B = 30°,
∴∠BAC = 180° - 30° - 30° = 120°。
∵OD//AC,∠AOD = ∠B = 30°,
∴∠OAC = ∠AOD = 30°,
∴∠BAO = 120° - 30° = 90°,
∴△AOB是直角三角形。
(2)△AOD的形状可以是等腰三角形。理由如下:
①DA = DO时,∠OAD = ∠AOD = 30°,
∴∠BDO = ∠OAD + ∠AOD = 60°;
②OA = OD时,∠ODA = ∠OAD = $\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ}) = 75^{\circ}$,
∴∠BDO = 180° - 75° = 105°;
③AD = AO时,∠ADO = ∠AOD = 30°,
∴∠OAD = 120° = ∠BAC,点O与点C重合,不合题意。
综上所述,∠BDO的度数为60°或105°。

8. 在边长为$9的等边三角形ABC$中,点$Q是BC$上一点,点$P是AB$上一动点,以$1个单位长度每秒的速度从点A向点B$移动,设运动时间为$t\mathrm{~s}$。
(1)如图①,若点$P从点A向点B$运动,同时点$Q以2个单位长度每秒的速度从点B经点C向点A$运动,当$t$为何值时,$\triangle APQ$为等边三角形?
(2)如图②,将边长为$9的等边三角形ABC变换为AB$,$AC$为腰,$BC$为底的等腰三角形,且$AB = AC = 10$,$BC = 8$,点$P运动到AB$的中点处时静止,点$M$,$N分别为BC$,$AC$上的动点,点$M以1个单位长度每秒的速度从点B向C$运动,同时点$N以a个单位长度每秒的速度从点C向A$运动,当$\triangle BPM和\triangle CNM$全等时,求$a$的值。

答案：

(1)当点Q在边BC上时,如图①,△APQ不可能为等边三角形;
　　 　　
当点Q在边AC上时,如图②,
若△APQ为等边三角形,则AP = AQ,
由题意可知,AP = t,BC + CQ = 2t,
∴AQ = BC + AC - (BC + CQ) = 9 + 9 - 2t = 18 - 2t,
∴18 - 2t = t,解得t = 6,
∴当t = 6时,△APQ为等边三角形。
(2)由题意可知:BM = t,CN = at,BP = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5$,
∴CM = BC - BM = 8 - t。
若△BPM≌△CNM,则PB = NC,BM = CM,
∴5 = at,t = 8 - t,解得a = $\frac{5}{4}$,t = 4;
若△BPM≌△CMN,则PB = MC,BM = CN,
∴5 = 8 - t,t = at,解得a = 1,t = 3。
综上所述,当△BPM和△CNM全等时,a的值为1或$\frac{5}{4}$。