《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

1. 下列多项式中,完全平方式是(C)
A.$4a^{2}-4a - 1$
B.$a^{2}+2a + 4$
C.$a^{2}-a+\frac{1}{4}$
D.$a^{2}-1$

答案： C

2. 把$a^{2}-2a + 1$分解因式,正确的是(D)
A.$a(a - 2)+1$
B.$(a + 1)^{2}$
C.$(a + 1)(a - 1)$
D.$(a - 1)^{2}$

答案： D

3. 若$x^{2}+4x + k$是一个完全平方式,则$k = $4。

答案： 4

4. 把下列各式分解因式：
(1)$x^{2}-6xy + 9y^{2}$；
(2)$(m + n)^{2}+6(m + n)+9$。

答案： 解:
(1)原式=x²-2·x·3y+(3y)²=(x-3y)²;
(2)原式=(m+n)²+2·3(m+n)+3²=(m+n+3)²。

【例1】若$x^{2}-2(a - 1)x + 4$是完全平方式,且$b = 3$,则$a^{b}$的值是多少？
解题关键 先根据完全平方式的结构特征求出$a$的值,再代入求值式计算。

答案： 解:由条件可知-2(a-1)x=±2×x×2,解得a=3或-1。
当a=3,b=3时,aᵇ=3³=27;
当a=-1,b=3时,aᵇ=(-1)³=-1。

【例2】分解因式：
(1)$9a^{2}+6a + 1$；(2)$-x^{2}-4y^{2}+4xy$；
(3)$(x + 2y)^{2}-12(x + 2y)+36$。
解题关键 (1) 直接运用完全平方公式；(2) 先提取负号,再运用完全平方公式；(3) 把$x + 2y$看作整体,直接运用完全平方公式。

答案： 解:
(1)9a²+6a+1=(3a)²+2·3a·1+1²=(3a+1)²;
(2)-x²-4y²+4xy=-(x²+4y²-4xy)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)²;
(3)(x+2y)²-12(x+2y)+36=(x+2y)²-2·(x+2y)·6+6²=(x+2y-6)²。