《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

6. 如图 5,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 45^{\circ} $,边 $ AB $ 上有一定点 $ P $,$ M,N $ 分别是 $ AC $ 和 $ BC $ 边上的动点,当 $ \triangle PMN $ 的周长最短时,$ \angle MPN $ 的度数是90°。

答案： $ 90° $

7. 如图 6,牧马人从 $ A $ 地出发,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到 $ B $ 处,请画出最短路径。

活动三 造桥选址问题
【解题技巧】凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑利用“两点之间线段最短”,但许多实际问题需要我们先将一些线段进行转化,即用与它相等的线段替代,最终变成两点之间线段最短的问题。

答案：
解:如图,$ AQ + PQ + BP $ 为所求。

8. 如图 7,直线 $ l_1,l_2 $ 表示一条河的两岸,且 $ l_1 // l_2 $,现要在这条河上建一座桥,使得村庄 $ A $ 经桥过河到村庄 $ B $ 的路程最短。现有两种设计方案,下列说法正确的是 (A)
|方案一|方案二|
|||

A.唯方案一可行
B.唯方案二可行
C.方案一、二均可行
D.方案一、二均不可行

答案： A

9. 如图 8,某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,$ l_1 // l_2 $ 表示小河甲,$ l_3 // l_4 $ 表示小河乙,$ A $ 为校本部大门,$ B $ 为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸。请你设计一条路线,使 $ A,B $ 两点间来往的路程最短。

答案：
解:如图,作 $ AA' \perp l_1 $,$ BB' \perp l_4 $,且 $ AA' = $ 小河甲宽度,$ BB' = $ 小河乙宽度,连接 $ A'B' $,交 $ l_2 $ 于点 D,交 $ l_3 $ 于点 E,过点 D 作 $ DC \perp l_1 $,过点 E 作 $ EF \perp l_4 $,垂足分别为 C,F,连接 AC,BF。$ \because AA' \perp l_1 $,$ DC \perp l_1 $,$ AA' = CD $,$ \therefore CD $ 是由 $ AA' $ 平移得到的,$ \therefore A'D = AC $,$ \therefore AC + CD = AA' + A'D $;同理可得,$ BF + EF = BB' + B'E $,$ \therefore $ 最短路径为:$ AC + CD + DE + EF + BF = AA' + A'B' + BB' $。

10. 如图 9,荆州护城河在 $ CC' $ 处直角转弯,河宽相等,从 $ A $ 处到达 $ B $ 处,需经两座桥 (桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西南北方向的,试问:桥架在何处,才能使从 $ A $ 处到 $ B $ 处的路程最短?

答案：
解:如图,作 $ AF \perp CD $,且 $ AF = $ 河宽,作 $ BG \perp CE $,且 $ BG = $ 河宽,连接 GF,与河岸相交于 $ E' $,$ D' $,作 $ DD' \perp CD $,$ EE' \perp CE $,垂足分别为 D,E。由作图法可知,$ AF // DD' $,$ AF = DD' $,则 $ DD' $ 可视为由 AF 平移得到的,根据平移的性质可得 $ AD = FD' $,同理,$ BE = GE' $,由两点之间线段最短,可知 GF 最小,即当桥建于如图所示的 $ DD' $,$ EE' $ 位置时,才能使从 A 处到 B 处的路程最短。