《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

6. 已知：如图14-2-3-10,$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$AB = DE$,$BC = EF$,$AM是\triangle ABC$的中线,$DN是\triangle DEF$的中线,$AM = DN$。求证：$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。

答案： 证明:$\because BC=EF$,AM是$△ABC$的中线,DN是$△DEF$的中线,$\therefore BM=EN$。在$△ABM$和$△DEN$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ BM=EN,\\ AM=DN,\end{array}\right. $$\therefore △ABM\cong △DEN(SSS),\therefore ∠B=∠E$。在$△ABC$和$△DEF$中,$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ ∠B=∠E,\\ BC=EF,\end{array}\right. $$\therefore △ABC\cong △DEF(SAS)$。

7. 如图14-2-3-11,$\triangle ABC$是不等边三角形,$DE = BC$,以$D$,$E$为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与$\triangle ABC$全等,这样的三角形最多可以画出 (B)

A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

答案： B

8. 如图14-2-3-12,$AD = BC$,$AE = CF$,$E$,$F是BD$上两点,$BE = DF$。若$\angle AED = 105^{\circ}$,$\angle ADB = 40^{\circ}$,则$\angle BCF$的度数为35°。

答案： 35°

9. 如图14-2-3-13,$AC与BD相交于点O$,$\angle DBA = \angle CAB$,$\angle1 = \angle2$。求证：$\angle CDA = \angle DCB$。

答案： 证明:在$△ABD$和$△BAC$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DBA=∠CAB,\\ ∠1=∠2,\\ AB=AB,\end{array}\right. $$\therefore △ABD\cong △BAC(AAS),$$\therefore AD=BC,BD=AC,∠DAB=∠CBA$。又$\because ∠DAB=∠DAC+∠CAB,$$∠CBA=∠CBD+∠DBA,$$\therefore ∠DAC=∠CBD$。在$△DAC$和$△CBD$中,$\left\{\begin{array}{l} AD=BC,\\ ∠DAC=∠CBD,\\ AC=BD,\end{array}\right. $$\therefore △DAC\cong △CBD(SAS),$$\therefore ∠CDA=∠DCB$。

10. (推理能力)如图14-2-3-14,在$\triangle OAB和\triangle OCD$中,$OA = OB$,$OC = OD$,$OA ＞ OD$,$\angle AOB = \angle COD = 40^{\circ}$,连接$AC$,$BD交于点M$。
(1) 求证：$AC = BD$；
(2) 连接$OM$,判断$OM是否平分\angle BOC$,并证明你的结论。

答案：
(1)证明:$\because ∠AOB=∠COD,$$\therefore ∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD$,即$∠AOC=∠BOD$。又$\because OA=OB,OC=OD,$$\therefore △AOC\cong △BOD(SAS),\therefore AC=BD$。
(2)解:OM不平分$∠BOC$。理由如下:作$OG⊥MC,OH⊥MB$,垂足分别为G,H,如图所示:则$∠OGC=∠OHD=90^{\circ }$。$\because △AOC\cong △BOD,\therefore ∠OCA=∠ODB$。在$△OCG$和$△ODH$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠OCA=∠ODB,\\ ∠OGC=∠OHD,\\ OC=OD,\end{array}\right. $$\therefore △OCG\cong △ODH(AAS),$$\therefore OG=OH,\therefore MO$平分$∠BMC$。$\because ∠AOB=∠COD,$$\therefore $当$∠DOM=∠AOM$时,OM才平分$∠BOC$。假设$∠DOM=∠AOM,$$\because ∠AOB=∠COD,\therefore ∠COM=∠BOM$。$\because MO$平分$∠BMC,$$\therefore ∠CMO=∠BMO$。在$△COM$和$△BOM$中,$\left\{\begin{array}{l} ∠COM=∠BOM,\\ OM=OM,\\ ∠CMO=∠BMO,\end{array}\right. $$\therefore △COM\cong △BOM(ASA),\therefore OB=OC,$$\because OA=OB,OC=OD,$$\therefore OA=OD$,与$OA＞OD$矛盾,$\therefore $假设不成立,即OM不平分$∠BOC$。