《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

8. 如图 14-1-12,$ \triangle ABD \cong \triangle CAE $,$ A $,$ D $,$ E $ 三点在一条直线上。
(1) 求证：$ BD = CE + DE $；
(2) 当 $ \triangle ABD $ 满足什么条件时,$ BD // CE $？请说明理由。

答案：
(1)证明:
∵△ABD≌△CAE,
∴BD=AE,AD=CE。
∵AE=AD+DE,
∴BD=CE+DE。
(2)解:当△ABD 满足∠ADB=90°时,BD//CE。理由如下:
∵△ABD≌△CAE,
∴∠ADB=∠CEA。
∵∠ADB=90°,
∴∠CEA=90°,∠BDE=90°,
∴∠CEA=∠BDE,
∴BD//CE。

9. (分类讨论)如图 14-1-13,在五边形 $ ABCDE $ 中,$ BC = 4 $,$ AE = 3 $。
(1) 若 $ \triangle BCD \cong \triangle BAE $,$ DE = 2 $,求五边形 $ ABCDE $ 的周长；
(2) 若 $ \angle BDC = 70^{\circ} $,$ \angle CBD = \angle ABE \neq 70^{\circ} $,$ \angle BAE = \left( \dfrac{3}{2}x - 20 \right)^{\circ} $,$ \angle AEB = (x + 18)^{\circ} $,当 $ \triangle BCD $ 与 $ \triangle BAE $ 全等时,求 $ x $ 的值。
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答案： 解:
(1)
∵△BCD≌△BAE,BC=4,AE=3,
∴BC=BA=4,CD=AE=3。
∵DE=2,
∴五边形 ABCDE 的周长为 AB+BC+CD+AE+DE=4+4+3+3+2=16。
(2)
∵∠CBD=∠ABE≠70°,
∴当△BCD≌△BAE 时,∠BDC=70°,∠AEB=(x+18)°,
∴∠AEB=∠BDC,
∴x+18=70,解得 x=52。当△BCD≌△BEA 时$,∠BDC=70°,∠BAE=(\frac{3}{2}x - 20)°,$
∴∠BAE=∠BDC,
∴$\frac{3}{2}x - 20=70,$解得 x=60。综上,x 的值为 52 或 60。