《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

1. 若$(2a + 2b - 3)(2a + 2b + 3) = 40$,则$a + b$的值为(C)
A.$\dfrac{7}{2}$
B.$-\dfrac{7}{2}$
C.$\pm\dfrac{7}{2}$
D.$\pm3$

答案： C

2. 已知$(x + y)^2 = 18$,$(x - y)^2 = 6$,分别求下列代数式的值：
(1)$x^2 + y^2$；(2)$x^4 + y^4$。

答案： 解:
(1)
∵$(x+y)^{2}=18$,$(x-y)^{2}=6$,
∴$x^{2}+y^{2}+2xy=18$,$x^{2}+y^{2}-2xy=6$,
∴$x^{2}+y^{2}+2xy-(x^{2}+y^{2}-2xy)=12$,
∴$4xy=12$,
∴$xy=3$,
∴$x^{2}+y^{2}=12$;
(2)$x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}$
$=12^{2}-2×3^{2}=126$。

3. 计算：(1)$19×21$；(2)$999^2$；(3)$2026^2 - 2025×2027$。

答案： 解:
(1)$19×21=(20-1)(20+1)=20^{2}-1=399$;
(2)$999^{2}=(1000-1)^{2}=1000000-2000+1=998001$;
(3)$2026^{2}-2025×2027$
$=2026^{2}-(2026-1)×(2026+1)$
$=2026^{2}-(2026^{2}-1)$
$=2026^{2}-2026^{2}+1=1$。

4. 计算：$5(6 + 1)(6^2 + 1)(6^4 + 1)(6^8 + 1)×(6^{16} + 1) + 1$。

答案： 解:原式$=(6-1)(6+1)(6^{2}+1)(6^{4}+1)×(6^{8}+1)(6^{16}+1)+1=(6^{2}-1)(6^{2}+1)×(6^{4}+1)(6^{8}+1)(6^{16}+1)+1=6^{32}-1+1=6^{32}$。

5. 当$n$为自然数时,$(n + 5)^2 - (n - 3)^2能被16$整除吗？请说明理由。

答案： 解:
∵$(n+5)^{2}-(n-3)^{2}=(n^{2}+10n+25)-(n^{2}-6n+9)=n^{2}+10n+25-n^{2}+6n-9=16n+16=16(n+1)$,且n为自然数,
∴$(n+5)^{2}-(n-3)^{2}$能被16整除。