《2025年绩优学案八年级数学上册人教版》

5. 如图14-3-1-10,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,△ABC的面积是$28cm^2,AB= 16cm,AC= 12cm,$求DE的长。
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答案： 解:
∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF ⊥AC,
∴DE=DF。
∵$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB× DE+\frac{1}{2}AC× DF=\frac{1}{2}(AB+AC)× DE=\frac{1}{2}×(16 +12)× DE=28$,
∴DE=2cm。

6. (2024常州中考)如图14-3-1-11,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则(A)

$A. d_1= d_2$
$B. d_1≠d_2$
$C. l_1= l_2$
$D. l_1≠l_2$
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答案： A

7. 如图14-3-1-12,在等腰直角△ABC中,∠C= 90°,AC= BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB= 8cm,则△BDE的周长为8cm。

答案： 8cm

8. 如图14-3-1-13,点C在射线BD上,AC⊥BD,且AC= BC。
(1)实践与操作：利用圆规和直尺,①以点B为圆心,BA为半径作弧,交射线BD于点E,连接AE；②作∠ABC的平分线分别交AC于点F,交AE于点G(要求：尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母)。
(2)猜想与证明：试猜想线段BF与EG的位置关系,并加以证明。
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答案：
解:
(1)如图所示即为所求;
(2)线段BF与EG的位置关系是BF ⊥EG。证明:由作图过程可知:BA=BE,∠ABG =∠EBG。
∵BG=BG,
∴△ABG≌△EBG(SAS),
∴∠AGB=∠EGB。
∵∠AGB+∠EGB=180°,
∴∠AGB=∠EGB=90°,
∴BF⊥EG。

9. 如图14-3-1-14,已知点P为∠EAF平分线上一点,PB⊥AE,PC⊥AF,垂足分别为B,C,点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上,且PM= PN。
(1)求证：AM+AN= 2AC；
(2)若AB:PB= 2:1,且PB= 4,求四边形ANPM的面积。
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答案：
(1)证明:
∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE,PC⊥AF,
∴PB=PC,∠PBM=∠PCN=90°。在Rt△PBM和Rt△PCN中,$\left\{\begin{array}{l} PM=PN,\\ PB=PC,\end{array}\right.$
∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL),
∴BM=CN。
∵∠APB=90°−∠PAB,∠APC=90°−∠PAC,点P为∠EAF平分线上一点，
∴∠APC=∠APB,即PA平分∠CPB。
∵PB⊥AB,PC⊥AC,
∴AB=AC。又
∵BM=CN,
∴AM+AN=(AB−MB)+(CN+AC)=AB+AC=2AC。
(2)解:由
(1)知BM=CN,
∴$S_{\triangle PBM}=S_{\triangle PCN}$。
∵AB:PB=2:1,PB=4,
∴AB=8,
∴AB=AC=8,PB=PC=4,
∴$S_{四边形ANPM}=S_{\triangle APM}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle PCN}=S_{\triangle APM}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle PBM}=S_{\triangle APC}+S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}AC\cdot PC+\frac{1}{2}AB\cdot PB=\frac{1}{2}×8×4+\frac{1}{2}×8×4=32$。